Un tablero de ajedrez de $8 \times 8$ consta de $64$ unidades cuadradas. En algunos de los cuadrados unitarios del tablero, se dibujan diagonales de modo que dos diagonales cualesquiera no tengan puntos en común. ¿Cuál es el número máximo de diagonales que se pueden dibujar?

Sean $a, b, c$ números reales con la propiedad como $ab + bc + ca = 1$ . Demostrar que: $$\frac {(a + b) ^ 2 + 1} {c ^ 2 + 2} + \frac {(b + c) ^ 2 + 1} {a ^ 2 + 2} + \frac {(c + a) ^ 2 + 1} {b ^ 2 + 2} \ge 3 $$ .

Sea $ABC$ un triángulo y $D, E, F$ los puntos medios de los lados $BC, CA, AB$ respectivamente. Demostrar que $\angle DAC = \angle ABE$ si y sólo si $\angle AFC = \angle BDA$ .

Sea $p$ un número primo, $p> 5$ . Determinar los números naturales no nulos $x$ con la propiedad de que $5p + x$ divide a $5p ^ n + x ^ n$ , sea cual sea $n \in N ^ {*} $ .

El plano considera $51$ puntos de coordenadas enteras, de modo que las distancias entre dos puntos cualesquiera son números naturales. Demostrar que al menos el $49\%$ de las distancias son pares.

Sea $ABC$ un triángulo inscrito en el círculo $(O)$ . Sea $I$ el centro del círculo inscrito en el triángulo y $D$ el punto de contacto del círculo inscrito con el lado $BC$ . Sea $M$ el segundo punto de intersección de la bisectriz $AI$ con el círculo $(O)$ y sea $P$ el punto donde la recta $DM$ intersecta al círculo $(O)$ . Demostrar que $PA \perp PI$ .

Demostrar que: a) Existe una secuencia de números naturales no nulos $a_1, a_2, ...$ determinados de forma única, de modo que: $n = \sum _ {d | n} a _ d$ para cualquier $n \in N ^ {*}$ . b) Existe una secuencia de números naturales no nulos $b_1, b_2, ...$ determinados de forma única, de modo que: $n = \prod _ {d | n} b _ d$ para cualquier $n \in N ^ {*}$ . Nota: La suma de a), respectivamente el producto de b), se realizan después de todos los divisores naturales $d$ del número $n$ , incluidos $1$ y $n$ .

Determinar los números primos $p, q, r$ con la propiedad de que: $p(p-7) + q (q-7) = r (r-7)$ .

Sea un triángulo $ABC$ , $O$ su circuncentro , $H$ ortocentro y $M$ el punto medio de $AH$ . La perpendicular a $M$ a la recta $OM$ se encuentra con $AB$ y $AC$ en los puntos $P$ , respectiva $Q$ . Demostrar que $MP=MQ$ .

Consideramos los números reales $a _ 1, a _ 2, a _ 3, a _ 4, a _ 5$ con la suma cero y la propiedad de que $| a _ i - a _ j | \le 1$ , sea cual sea $i,j \in \{1, 2, 3, 4, 5 \} $ . Demostrar que $a _ 1 ^ 2 + a _ 2 ^ 2 + a _ 3 ^ 2 + a _ 4 ^ 2 + a _ 5 ^ 2 \le \frac {6} {5}$ .