Abolf está en el segundo escalón de una escalera al cielo. En cada escalón de esta escalera, excepto el primero, que es el infierno, hay un demonio que es un humano, un elfo o un demonio y tienta a Abolf. El demonio en el segundo escalón es el mismo Satanás en una de tres formas. Cada vez que un elfo o un demonio intenta tentar a Abolf, él se resiste y sube un escalón, pero cuando un humano tienta a Abolf, es engañado y, por lo tanto, baja un escalón. Sin embargo, si Abolf es engañado por Satanás por primera vez, se resiste y no cae al infierno, pero la segunda vez cae al infierno eterno. Cada vez que un demonio tienta, cambia su forma de humano, elfo, demonio a elfo, demonio, humano respectivamente. Demuestra que Abolf pasa cada escalón después de un tiempo.

Dado un grafo con $99$ vértices y grados en ${81,82,\dots,90}$, demuestra que existen $10$ vértices de este grafo con grados iguales y un vecino común.

Se dan $1399$ puntos y algunas cuerdas entre ellos. $a)$ En cada paso, podemos tomar dos cuerdas $RS,PQ$ con un punto en común que no sea $P,Q,R,S$ y borrar exactamente una de $RS,PQ$ y dibujar $PS,PR,QS,QR$. Sea $s$ el mínimo de cuerdas después de algunos pasos. Encuentra el máximo de $s$ sobre todas las posiciones iniciales. $b)$ En cada paso, podemos tomar dos cuerdas $RS,PQ$ con un punto en común que no sea $P,Q,R,S$ y borrar ambas $RS,PQ$ y dibujar $PS,PR,QS,QR$. Sea $s$ el mínimo de cuerdas después de algunos pasos. Encuentra el máximo de $s$ sobre todas las posiciones iniciales.

Morteza y Amir Reza juegan el siguiente juego. Primero, cada uno de ellos lanza un dado independientemente $100$ veces seguidas para construir un número de $100$ dígitos con dígitos $1,2,3,4,5,6$, luego gritan simultáneamente un número del $1$ al $100$ y escriben el dígito correspondiente al número que la otra persona gritó en su número de $100$ dígitos. Si ambos jugadores escriben $6$, ambos ganan, de lo contrario, ambos pierden. ¿Tienen una estrategia con una probabilidad de ganar mayor que $\frac{1}{36}$?

En una liga de fútbol con $2020$ equipos, cada dos equipos han jugado exactamente una vez y ningún partido ha terminado en empate. Los equipos participantes se ordenan primero por sus puntos (3 puntos por una victoria, 1 punto por un empate, 0 puntos por una derrota) y luego por su diferencia de goles (goles marcados menos goles en contra) en una tabla de fútbol normal. ¿Es posible que la diferencia de goles en tal tabla sea estrictamente creciente de arriba a abajo?

En una antigua escritura encontrada en las ruinas de Persépolis está escrito: Esta escritura ha sido terminada en un año cuya 13ª potencia es 258145266804692077858261512663 Debe saber que si eres hábil en Aritmética, sabrás el año en que esta escritura está terminada fácilmente. Encuentre el año en que se termina esta escritura. Dé una razón para su respuesta.

Un grafo se llama grafo auto-intersectante si es isomorfo a un grafo cuyo cada arista es un segmento y cada dos aristas se intersecan. Observe que ninguna arista contiene un vértice excepto sus dos extremos. a) Encuentre todas las $ n$ 's para las cuales el ciclo de longitud $ n$ es auto-intersectante. b) Demuestre que en un grafo auto-intersectante $ |E(G)|\leq|V(G)|$ . c) Encuentre todos los grafos auto-intersectantes.

Hay cinco laboratorios de investigación en Marte. ¿Es siempre posible dividir Marte en cinco regiones congruentes conectadas de tal manera que cada región contenga exactamente un laboratorio de investigación?

Demuestre que existen infinitos primos $ p$ tales que: \[ 13|p^3+1\]

La policía quiere arrestar a los criminales famosos del país cuyo nombre es Kaiser. Kaiser está en una de las calles de una ciudad en forma de cuadrado con $ n$ calles verticales y $ n$ calles horizontales. En los siguientes casos, ¿cuántos oficiales de policía se necesitan para arrestar a Kaiser? a) Cada oficial de policía tiene la misma velocidad que Kaiser y cada oficial de policía conoce la ubicación de Kaiser en cualquier momento. b) Kaiser tiene una velocidad infinita (finita pero sin límite) y los oficiales de policía solo pueden saber dónde está cuando uno de ellos ve a Kaiser. Todos en este problema (incluidos los oficiales de policía y Kaiser) se mueven continuamente y pueden detenerse o cambiar su camino.