Encuentre todos los pares de enteros $(c, d)$, ambos mayores que 1, tales que se cumpla lo siguiente: Para cualquier polinomio mónico $Q$ de grado $d$ con coeficientes enteros y para cualquier primo $p > c(2c+1)$, existe un conjunto $S$ de a lo sumo $\big(\tfrac{2c-1}{2c+1}\big)p$ enteros, tal que \[\bigcup_{s \in S} \{s,\; Q(s),\; Q(Q(s)),\; Q(Q(Q(s))),\; \dots\}\] contiene un sistema de residuos completo módulo $p$ (es decir, se cruza con cada clase de residuos módulo $p$).

Dos hormigas se mueven a lo largo de las aristas de un poliedro convexo. La ruta de cada hormiga termina en su punto de partida, de modo que una hormiga no pasa por el mismo punto dos veces a lo largo de su camino. En cada cara $F$ del poliedro se escribe el número de aristas de $F$ que pertenecen a la ruta de la primera hormiga y el número de aristas de $F$ que pertenecen a la ruta de la segunda hormiga. ¿Existe un poliedro y un par de rutas descritas como se indicó anteriormente, de modo que solo una cara contenga un par de números distintos?

Determine todas las funciones $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ que satisfacen \[f(x + yf(x)) + f(xy) = f(x) + f(2019y),\] para todos los números reales $x$ e $y$.

Sea $ABC$ un triángulo equilátero y $P$ un punto en su plano tal que $AP<BP<CP.$ Suponga que las longitudes de los segmentos $AP,BP$ y $CP$ determinan únicamente el lado de $ABC$ . Demuestre que $P$ se encuentra en la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC.$

Demuestre que para cada entero positivo $n$ existe un polígono (no necesariamente convexo) sin tres vértices colineales, que admite exactamente $n$ triangulaciones diferentes. (Una triangulación es una disección del polígono en triángulos mediante diagonales interiores que no tienen puntos interiores en común entre sí ni con los lados del polígono)

Dado cualquier número real positivo $\varepsilon$, demuestre que, para todos menos finitamente muchos enteros positivos $v$, cualquier grafo sobre $v$ vértices con al menos $(1+\varepsilon)v$ aristas tiene dos ciclos simples distintos de igual longitud. (Recuerde que la noción de un ciclo simple no permite la repetición de vértices en un ciclo.)

Fije un entero impar $n > 1$ . Para una permutación $p$ del conjunto $\{1,2,...,n\}$ , sea S el número de pares de índices $(i, j)$ , $1 \le i \le j \le n$ , para los cuales $p_i +p_{i+1} +...+p_j$ es divisible por $n$ . Determine el valor máximo posible de $S$ .

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. La línea que pasa por $C$ perpendicular a $AC$ se encuentra con la bisectriz del ángulo externo de $\angle ABC$ en $D$ . Sea $H$ el pie de la perpendicular desde $D$ sobre $BC$ . El punto $K$ se elige en $AB$ de modo que $KH \parallel AC$ . Sea $M$ el punto medio de $AK$ . Demuestre que $MC = MB + BH$ .

Sea $ABCD$ un trapecio isósceles con $AB\parallel CD$. Sea $E$ el punto medio de $AC$. Denotemos por $\omega$ y $\Omega$ los circuncírculos de los triángulos $ABE$ y $CDE$, respectivamente. Sea $P$ el punto de cruce de la tangente a $\omega$ en $A$ con la tangente a $\Omega$ en $D$. Demuestra que $PE$ es tangente a $\Omega$.

Amy y Bob juegan un juego. Al principio, Amy escribe un entero positivo en la pizarra. Luego los jugadores hacen movimientos por turnos, Bob se mueve primero. En cualquier movimiento suyo, Bob reemplaza el número $n$ en la pizarra con un número de la forma $n-a^2$, donde $a$ es un entero positivo. En cualquier movimiento suyo, Amy reemplaza el número $n$ en la pizarra con un número de la forma $n^k$, donde $k$ es un entero positivo. Bob gana si el número en la pizarra se convierte en cero. ¿Puede Amy evitar que Bob gane?