Encuentra todos los polinomios $ P(x,y)$ tales que para todos los reales $ x$ e $y$ , \[P(x^{2},y^{2}) =P\left(\frac {(x + y)^{2}}{2},\frac {(x - y)^{2}}{2}\right).\]

Suponga tres direcciones en el plano . Dibujamos $ 11$ líneas en cada dirección . Encuentra el número máximo de puntos en el plano que están en tres líneas .

Tenemos un camino cerrado en los vértices de un cuadrado de $ n$ × $ n$ que pasa por cada vértice exactamente una vez . Demuestra que tenemos dos vértices adyacentes tales que si cortamos el camino desde estos puntos, entonces la longitud de cada pieza no es menor que una cuarta parte del camino total .

$ ABC$ es un triángulo y $ AA'$ , $ BB'$ y $ CC'$ son tres alturas de este triángulo . Sea $ P$ el pie de la perpendicular desde $ C'$ a $ A'B'$ , y $ Q$ es un punto en $ A'B'$ tal que $ QA = QB$ . Demuestra que : $ \angle PBQ = \angle PAQ = \angle PC'C$

Encuentra todos los polinomios $f$ con coeficientes enteros tales que, para cada primo $p$ y números naturales $u$ y $v$ con la condición: \[ p \mid uv - 1 \] siempre tenemos $p \mid f(u)f(v) - 1$ .

Suponga que $ a$ , $ b$ , $ c$ son tres números reales positivos tales que $ a+b+c=3$ . Demuestra que : $ \frac{1}{2+a^{2}+b^{2}}+\frac{1}{2+b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{2+c^{2}+a^{2}} \leq \frac{3}{4}$

Sea $ a$ un número natural fijo . Demuestra que el conjunto de divisores primos de $ 2^{2^{n}} + a$ para $ n = 1,2,\cdots$ es infinito

Sea $ ABC$ un triángulo y $ A'$ , $ B'$ y $ C'$ se encuentran en $ BC$ , $ CA$ y $ AB$ respectivamente, tal que el incentro de $ A'B'C'$ y $ ABC$ coinciden y el inradio de $ A'B'C'$ es la mitad del inradio de $ ABC$ . Demuestra que $ ABC$ es equilátero .

Seyed tiene 998 monedas blancas, una moneda roja y una moneda inusual con un lado rojo y un lado blanco. No puede ver el color de las monedas, en cambio, tiene un escáner que verifica si todos los lados de las monedas que tocan el cristal del escáner son blancos. ¿Existe algún algoritmo para encontrar la moneda roja utilizando el escáner como máximo 17 veces?

Considera una red triangular de triángulos equiláteros con lados unitarios. Asume que $\mathcal{P}$ es un polígono no autointersecante con perímetro 1399 y lados de la red. Demuestra que $\mathcal{P}$ tiene un ángulo interno o externo de 120 grados.