Sea $n$ un entero mayor que $1$ y sea $S$ el conjunto de subconjuntos de $n$ elementos del conjunto $\{1,2,\ldots,2n\}$ . Determine \[\max_{A\in S}\left (\min_{x,y\in A, x \neq y} [x,y]\right )\] donde $[x,y]$ es el mínimo común múltiplo de los enteros $x$ , $y$ .