Para cada $n\geq 3$ , determinar todas las configuraciones de $n$ puntos distintos $X_1,X_2,\ldots,X_n$ en el plano, con la propiedad de que para cualquier par de puntos distintos $X_i$ , $X_j$ existe una permutación $\sigma$ de los enteros $\{1,\ldots,n\}$ , tal que $\textrm{d}(X_i,X_k) = \textrm{d}(X_j,X_{\sigma(k)})$ para todo $1\leq k \leq n$ . (Escribimos $\textrm{d}(X,Y)$ para denotar la distancia entre los puntos $X$ e $Y$ . )

Dado un entero positivo $\displaystyle n = \prod_{i=1}^s p_i^{\alpha_i}$ , escribimos $\Omega(n)$ para el número total $\displaystyle \sum_{i=1}^s \alpha_i$ de factores primos de $n$ , contados con multiplicidad. Sea $\lambda(n) = (-1)^{\Omega(n)}$ (así, por ejemplo, $\lambda(12)=\lambda(2^2\cdot3^1)=(-1)^{2+1}=-1$ ) . Demuestre las siguientes dos afirmaciones: i) Hay infinitos enteros positivos $n$ tales que $\lambda(n) = \lambda(n+1) = +1$ ; ii) Hay infinitos enteros positivos $n$ tales que $\lambda(n) = \lambda(n+1) = -1$ .

Un triángulo $ABC$ está inscrito en un círculo $\omega$ . Una línea variable $\ell$ elegida paralela a $BC$ se encuentra con los segmentos $AB$ , $AC$ en los puntos $D$ , $E$ respectivamente, y se encuentra con $\omega$ en los puntos $K$ , $L$ (donde $D$ se encuentra entre $K$ y $E$ ) . El círculo $\gamma_1$ es tangente a los segmentos $KD$ y $BD$ y también es tangente a $\omega$ , mientras que el círculo $\gamma_2$ es tangente a los segmentos $LE$ y $CE$ y también es tangente a $\omega$ . Determinar el lugar geométrico, mientras $\ell$ varía, del punto de encuentro de las tangentes internas comunes a $\gamma_1$ y $\gamma_2$ .

Determinar todos los enteros positivos $n$ para los cuales existe un polinomio $f(x)$ con coeficientes reales, con las siguientes propiedades: (1) para cada entero $k$ , el número $f(k)$ es un entero si y solo si $k$ no es divisible por $n$ ; (2) el grado de $f$ es menor que $n$ .

Demostrar que existen dos funciones $f,g \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , tal que $f\circ g$ es estrictamente decreciente y $g\circ f$ es estrictamente creciente.

Sea $ABC$ un triángulo y sean $I$ y $O$ su incentro y circuncentro respectivamente. Sea $\omega_A$ el círculo que pasa por $B$ y $C$ que es tangente al incírculo del triángulo $ABC$; los círculos $\omega_B$ y $\omega_C$ se definen de manera similar. Los círculos $\omega_B$ y $\omega_C$ se encuentran en un punto $A'$ distinto de $A$; los puntos $B'$ y $C'$ se definen de manera similar. Demuestre que las líneas $AA',BB'$ y $CC'$ son concurrentes en un punto en la línea $IO$.

Dado un entero positivo $n\ge 3$, coloree cada celda de una matriz cuadrada de $n\times n$ con uno de los $\lfloor (n+2)^2/3\rfloor$ colores, y cada color se usa al menos una vez. Demuestre que hay alguna submatriz rectangular de $1\times 3$ o $3\times 1$ cuyas tres celdas están coloreadas con tres colores diferentes.

Demuestre que hay infinitos enteros positivos $n$ tales que $2^{2^n+1}+1$ es divisible por $n$ pero $2^n+1$ no lo es.

Cada entero positivo se colorea de rojo o azul. Una función $f$ del conjunto de enteros positivos a sí mismo tiene las siguientes dos propiedades: (a) si $x\le y$, entonces $f(x)\le f(y)$; y (b) si $x,y$ y $z$ son enteros positivos (no necesariamente distintos) del mismo color y $x+y=z$, entonces $f(x)+f(y)=f(z)$. Demuestre que existe un número positivo $a$ tal que $f(x)\le ax$ para todos los enteros positivos $x$.

Dado un triángulo no isósceles $ABC$, sean $D,E$ y $F$ los puntos medios de los lados $BC,CA$ y $AB$ respectivamente. El círculo $BCF$ y la línea $BE$ se encuentran nuevamente en $P$, y el círculo $ABE$ y la línea $AD$ se encuentran nuevamente en $Q$. Finalmente, las líneas $DP$ y $FQ$ se encuentran en $R$. Demuestre que el centroide $G$ del triángulo $ABC$ se encuentra en el círculo $PQR$.