Para ciertas constantes reales $p, q, r$, se nos da un sistema de ecuaciones $$\begin{cases} a^2 + b + c = p \\ a + b^2 + c = q \\ a + b + c^2 = r \end{cases}$$ ¿Cuál es el número máximo de soluciones de trío reales $(a, b, c)$ en todos los posibles $p, q, r$? Da un ejemplo de los $p$, $q$, $r$ que logran este máximo.

Sea $S$ el conjunto de $25$ puntos $(x, y)$ con $0\le x, y \le 4$. Se elige al azar un triángulo cuyos tres vértices están en $S$. ¿Cuál es el valor esperado del cuadrado de su área?

Se da una secuencia $\{a_i\}$ tal que $a_1 = \frac13$ y para todos los enteros positivos $n$ $$a_{n+1} =\frac{a^2_n}{a^2_n - a_n + 1}.$$ Demuestra que $$\frac12 - \frac{1}{3^{2^{n-1}}} < a_1 + a_2 +... + a_n <\frac12 - \frac{1}{3^{2^n}} ,$$ para todos los enteros positivos $n$.

Sea $\vartriangle ABC$ un triángulo acutángulo con $AB < AC$. Sea $H$ su ortocentro y $M$ el punto medio del arco $BAC$ en la circunferencia circunscrita. Se da que $B$, $H$, $M$ son colineales, la longitud de la altitud desde $M$ hasta $AB$ es $1$, y la longitud de la altitud desde $M$ hasta $BC$ es $6$. Determine todas las áreas posibles para $\vartriangle ABC$.

Llama a un número natural $N$ bueno si su expansión en base $3$ no tiene dígitos consecutivos que sean iguales. Por ejemplo, $289$ es bueno ya que su representación en base $3$ es $1012013$. Encuentra el $2024$-ésimo número bueno más pequeño ( $0$ no se considera un número natural). Tu respuesta debe estar en base $10$.

Encuentra todas las funciones $f : R \to R$ que satisfacen la ecuación funcional $$f(x + f(xy)) = f(x)(1 + y).$$

Suponga que los círculos $\mathit{W}_1$ y $\mathit{W}2$ , con centros $\mathit{O}_1$ y $\mathit{O}_2$ respectivamente, se intersectan en los puntos $\mathit{M}$ y $\mathit{N}$ . Sea la tangente en $\mathit{W}_2$ en el punto $\mathit{N}$ intersectar a $\mathit{W}_1$ por segunda vez en $\mathit{B}_1$ . Similarmente, sea la tangente en $\mathit{W}_1$ en el punto $\mathit{N}$ intersectar a $\mathit{W}_2$ por segunda vez en $\mathit{B}_2$ . Sea $\mathit{A}_1$ un punto en $\mathit{W}_1$ que está en el arco $\mathit{B}_1\mathit{N}$ que no contiene a $\mathit{M}$ y suponga que la línea $\mathit{A}_1\mathit{N}$ intersecta a $\mathit{W}_2$ en el punto $\mathit{A}_2$ . Denote los incentros de los triángulos $\mathit{B}_1\mathit{A}_1\mathit{N}$ y $\mathit{B}_2\mathit{A}_2\mathit{N}$ por $\mathit{I}_1$ y $\mathit{I}_2$ , respectivamente. Muestre que $\[\angle\mathit{I}_1\mathit{MI}_2=\angle\mathit{O}_1\mathit{MO}_2.\] * Dado un triángulo ABC, el incentro del triángulo se define como la intersección de las bisectrices de los ángulos A, B y C. Para evitar el desorden, el incentro se omite en el diagrama proporcionado. Tenga en cuenta también que el diagrama sirve solo como una ayuda y no necesariamente está dibujado a escala.

Seis jugadores de tenis se reúnen para jugar en un torneo donde cada par de personas juega un partido, con una persona declarada ganadora y la otra persona perdedora. Se dice que un trío de tres jugadores $\{\mathit{A}, \mathit{B}, \mathit{C}\}$ es cíclico si $\mathit{A}$ gana contra $\mathit{B}$ , $\mathit{B}$ gana contra $\mathit{C}$ y $\mathit{C}$ gana contra $\mathit{A}$ . (a) Después del torneo, las seis personas deben separarse en dos habitaciones de tal manera que ninguna de las dos habitaciones contenga un trío cíclico. Demuestre que esto siempre es posible. (b) Suponga que en cambio hay siete personas en el torneo. ¿Es siempre posible que las siete personas puedan separarse en dos habitaciones de tal manera que ninguna de las dos habitaciones contenga un trío cíclico?

Determine si existen dos números reales $a$ y $b$ tales que tanto $(x-a)^3+ (x-b)^2+x$ como $(x-b)^3 + (x-a)^2 +x$ contengan solo raíces reales.

Dado un entero positivo $n$ , sea $d(n)$ el divisor positivo más grande de $n$ menor que $n$ . Por ejemplo, $d(8) = 4$ y $d(13) = 1$ . Una secuencia de enteros positivos $a_1, a_2,\dots$ satisface \n\[a_{i+1} = a_i +d(a_i),\] para todos los enteros positivos $i$ . Demuestre que independientemente de la elección de $a_1$ , hay infinitos términos en la secuencia divisibles por $3^{2011}$ .