Encuentre todos los pares $\left(m,n\right)$ de enteros positivos, con $m,n\geq2$ , tales que $a^n-1$ es divisible por $m$ para cada $a\in \left\{1,2,3,\ldots,n\right\}$ .

Sean $ p$ y $ q$ enteros positivos relativamente primos. Un subconjunto $ S$ de $ \{0, 1, 2, \ldots \}$ se llama ideal si $ 0 \in S$ y para cada elemento $ n \in S,$ los enteros $ n + p$ y $ n + q$ pertenecen a $ S.$ Determine el número de subconjuntos ideales de $ \{0, 1, 2, \ldots \}.$

Sea $n$ un entero positivo y $f(x)=a_mx^m+\ldots + a_1X+a_0$ , con $m\ge 2$ , un polinomio con coeficientes enteros tal que: a) $a_2,a_3\ldots a_m$ son divisibles por todos los factores primos de $n$ , b) $a_1$ y $n$ son relativamente primos. Demuestre que para cualquier entero positivo $k$ , existe un entero positivo $c$ , tal que $f(c)$ es divisible por $n^k$ .

Demuestre que el conjunto de enteros positivos que no pueden representarse como una suma de cuadrados perfectos distintos es finito.

Encuentre el menor $n\in N$ tal que entre cualesquiera $n$ rayos en el espacio que compartan un origen común existan dos que formen un ángulo agudo.

Los vértices $A,B,C$ y $D$ de un cuadrado se encuentran fuera de un círculo con centro en $M$ . Sean $AA',BB',CC',DD'$ tangentes al círculo. Asuma que los segmentos $AA',BB',CC',DD'$ son los lados consecutivos de un cuadrilátero $p$ en el que está inscrito un círculo. Demuestre que $p$ tiene un eje de simetría.

Encuentre todos los polinomios con coeficientes reales $P$ tales que \[ P(x)P(2x^2-1)=P(x^2)P(2x-1)\] para todo $x\in\mathbb{R}$ .

Tres escuelas tienen $200$ estudiantes cada una. Cada estudiante tiene al menos un amigo en cada escuela (si el estudiante $a$ es amigo del estudiante $b$ entonces $b$ es amigo de $a$ ). Se sabe que existe un conjunto $E$ de $300$ estudiantes (entre los $600$ ) tal que para cualquier escuela $S$ y cualesquiera dos estudiantes $x,y\in E$ pero no en $S$ , el número de amigos en $S$ de $x$ y $y$ son diferentes. Demuestre que se puede encontrar un estudiante en cada escuela tal que sean amigos entre sí.

Los lados de un triángulo tienen longitudes $a,b,c$ . Demuestre que: \begin{align*}(-a+b+c)(a-b+c)\, +\, & (a-b+c)(a+b-c)+(a+b-c)(-a+b+c)\\ &\le\sqrt{abc}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})\end{align*}

a) Sean $f,g:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ funciones biyectivas. Demuestre que la función $h:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ definida por $h(x)=f(x)g(x)$ , para todo $x\in\mathbb{Z}$ , no puede ser una función sobreyectiva. b) Sea $f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ una función sobreyectiva. Demuestre que existen funciones sobreyectivas $g,h:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ tales que $f(x)=g(x)h(x)$ , para todo $x\in\mathbb{Z}$ .