Determine el número de pares de enteros positivos $x,y$ tales que $x\le y$ , $\gcd (x,y)=5!$ y $\text{lcm}(x,y)=50!$ .

Sea $1 < x_1 < 2$ y, para $n = 1$, 2, $\dots$, defina $x_{n + 1} = 1 + x_n - \frac{1}{2} x_n^2$. Pruebe que, para $n \ge 3$, $|x_n - \sqrt{2}| < 2^{-n}$.

Pruebe que $2^{n - 1}$ divide a $n!$ si y solo si $n = 2^{k - 1}$ para algún entero positivo $k$.

Sean $P_1$ y $P_2$ polígonos regulares de 1985 lados y perímetros $x$ e $y$ respectivamente. Cada lado de $P_1$ es tangente a un círculo dado de circunferencia $c$ y este círculo pasa por cada vértice de $P_2$. Pruebe que $x + y \ge 2c$. (Puede asumir que $\tan \theta \ge \theta$ para $0 \le \theta < \frac{\pi}{2}$ .)

Pruebe o refute que existe un entero que se duplica cuando el dígito inicial se transfiere al final.

Las longitudes de los lados de un triángulo son 6, 8 y 10 unidades. Demuestre que hay exactamente una línea recta que biseca simultáneamente el área y el perímetro del triángulo.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Sea $AD$ la altura sobre $BC$, y sea $H$ cualquier punto interior en $AD$. Las líneas $BH,CH$, cuando se extienden, intersecan a $AC,AB$ en $E,F$ respectivamente. Demuestre que $\angle EDH=\angle FDH$.

Sea $AB$ un diámetro de un círculo $\Omega$ y $P$ cualquier punto que no esté en la línea que pasa por $AB$. Suponga que la línea que pasa por $PA$ corta a $\Omega$ nuevamente en $U$, y la línea que pasa por $PB$ corta a $\Omega$ en $V$. Tenga en cuenta que, en caso de tangencia, $U$ puede coincidir con $A$ o $V$ puede coincidir con $B$. Además, si $P$ está en $\Omega$ entonces $P=U=V$. Suponga que $|PU|=s|PA|$ y $|PV|=t|PB|$ para algunos $0\le s,t\in \mathbb{R}$. Determine $\cos \angle APB$ en términos de $s,t$.

$25$ hombres se sientan alrededor de una mesa circular. Cada hora hay una votación, y cada uno debe responder sí o no. Cada hombre se comporta de la siguiente manera: en la votación $n^{\text{th}}$, si su respuesta es la misma que la respuesta de al menos una de las dos personas entre las que se sienta, entonces responderá de la misma manera en la votación $(n+1)^{\text{th}}$ que en la votación $n^{\text{th}}$; pero si su respuesta es diferente de la de sus dos vecinos en la votación $n^{\text{th}}$, entonces su respuesta en la votación $(n+1)^{\text{th}}$ será diferente de su respuesta en la votación $n^{\text{th}}$. Demuestre que, como sea que todos hayan respondido en la primera votación, habrá un momento después del cual la respuesta de nadie cambiará jamás.

Demuestre que $(\sqrt{2}-1)^n$ $\forall n\in \mathbb{Z}^{+}$ puede ser representado como $\sqrt{m}-\sqrt{m-1}$ para algún $m\in \mathbb{Z}^{+}$ .