Sean $ p,q,r$ 3 números primos tales que $ 5\leq p <q<r$. Sabiendo que $ 2p^2-r^2 \geq 49$ y $ 2q^2-r^2\leq 193$, hallar $ p,q,r$.

Un rectángulo puede ser dividido por líneas paralelas a sus lados en 200 cuadrados congruentes, y también en 288 cuadrados congruentes. Demostrar que el rectángulo también puede ser dividido en 392 cuadrados congruentes.

Sea $ ABC$ un triángulo acutángulo con $ \angle B > \angle C$. Sea $ D$ el pie de la altura desde $ A$ sobre $ BC$, y sea $ E$ el pie de la perpendicular desde $ D$ sobre $ AC$. Sea $ F$ un punto en el segmento $ (DE)$. Demostrar que las líneas $ AF$ y $ BF$ son perpendiculares si y sólo si $ EF\cdot DC = BD \cdot DE$.

Considera un cuadrado de lado $n$ y $ (n+1)^2$ puntos interiores. Demuestra que podemos elegir $3$ de estos puntos de modo que determinen un triángulo (eventualmente degenerado) de área como máximo $ \frac12$ .

Sea $a>1$ un entero positivo. Demuestra que todo entero positivo no nulo $N$ tiene un múltiplo en la secuencia $ (a_n)_{n\ge1}$ , $ a_n=\left\lfloor\frac{a^n}n\right\rfloor$ .

Demuestra que toda función biyectiva $f: \mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ puede escribirse de la forma $f=u+v$ donde $u,v: \mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ son funciones biyectivas.

Sea $ABC$ un triángulo equilátero y $P$ en su interior. Las distancias desde $P$ a los lados del triángulo se denotan por $a^2, b^2,c^2$ respectivamente, donde $a,b,c>0$. Encuentra el lugar geométrico de los puntos $P$ para los cuales $a,b,c$ pueden ser los lados de un triángulo no degenerado.

Considere un poliedro convexo $P$ con vértices $V_1,\ldots ,V_p$ . Los vértices distintos $V_i$ y $V_j$ se llaman vecinos si pertenecen a la misma cara del poliedro. A cada vértice $V_k$ le asignamos un número $v_k(0)$ , y construimos inductivamente la secuencia $v_k(n)\ (n\ge 0)$ como sigue: $v_k(n+1)$ es el promedio de los $v_j(n)$ para todos los vecinos $V_j$ de $V_k$ . Si todos los números $v_k(n)$ son enteros, demuestre que existe el entero positivo $N$ tal que todos los $v_k(n)$ son iguales para $n\ge N$ .

Las tangentes en $A$ y $B$ a la circunferencia circunscrita del triángulo acutángulo $ABC$ intersecan a la tangente en $C$ en los puntos $D$ y $E$ , respectivamente. La línea $AE$ interseca a $BC$ en $P$ y la línea $BD$ interseca a $AC$ en $R$ . Sean $Q$ y $S$ los puntos medios de los segmentos $AP$ y $BR$ respectivamente. Demuestre que $\angle ABQ=\angle BAS$ .

Demuestre que no existe una función $f:(0,\infty )\rightarrow (0,\infty)$ tal que \[f(x+y)\ge f(x)+yf(f(x)) \] para todo $x,y\in (0,\infty )$ .