Sea $p$ un número natural mayor o igual que $2$ y sea $(M, \cdot)$ un monoide finito tal que $a^p \ne a$, para cualquier $a\in M \backslash \{e\}$, donde $e$ es el elemento identidad de $M$. Demostrar que $(M, \cdot)$ es un grupo.

Sea $\mathcal{F}$ el conjunto de funciones continuas $f : [0, 1]\to\mathbb{R}$ que satisfacen $\max_{0\le x\le 1} |f(x)| = 1$ y sea $I : \mathcal{F} \to \mathbb{R}$, $$I(f) = \int_0^1 f(x)\, \text{d}x - f(0) + f(1).$$ a) Demostrar que $I(f) < 3$, para cualquier $f \in \mathcal{F}$. b) Determinar $\sup\{I(f) \mid f \in \mathcal{F}\}$.

Sea $ABC$ un triángulo con $\angle A = 80^o$ y $\angle C = 30^o$. Considere el punto $M$ dentro del triángulo $ABC$ de modo que $\angle MAC= 60^o$ y $\angle MCA = 20^o$. Si $N$ es la intersección de las líneas $BM$ y $AC$, mostrar que $MN$ es la bisectriz del ángulo $\angle AMC$.

Sea $ABCD$ un rectángulo y los puntos arbitrarios $E\in (CD)$ y $F \in (AD)$. La perpendicular desde el punto $E$ en la línea $FB$ interseca la línea $BC$ en el punto $P$ y la perpendicular desde el punto $F$ en la línea $EB$ interseca la línea $AB$ en el punto $Q$. Pruebe que los puntos $P, D$ y $Q$ son colineales.

Hallar los pares de enteros $(a, b)$ tales que $a^2 + 2b^2 + 2a +1$ es un divisor de $2ab$.

Demostrar que $\sqrt{n + \left[ \sqrt{n} +\frac12\right]}$ es un número irracional, para cada entero positivo $n$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB \neq AC$ . Sea $D$ el pie de la altura desde $A$ y $\omega$ el circuncírculo del triángulo. Sea $\omega_1$ el círculo tangente a $AD$ , $BD$ y $\omega$ . Sea $\omega_2$ el círculo tangente a $AD$ , $CD$ y $\omega$ . Sea $\ell$ la tangente común interior a ambos $\omega_1$ y $\omega_2$ , diferente de $AD$ . Demuestre que $\ell$ pasa por el punto medio de $BC$ si y sólo si $2BC = AB + AC$ .

Sea $x_1=1$ , $x_2$ , $x_3$ , $\ldots$ una sucesión de números reales tales que para todo $n\geq 1$ tenemos \[ x_{n+1} = x_n + \frac 1{2x_n} . \] Demuestre que \[ \lfloor 25 x_{625} \rfloor = 625 . \]

Sean $m$ y $n$ enteros positivos y $S$ un subconjunto con $(2^m-1)n+1$ elementos del conjunto $\{1,2,3,\ldots, 2^mn\}$ . Demuestre que $S$ contiene $m+1$ números distintos $a_0,a_1,\ldots, a_m$ tales que $a_{k-1} \mid a_{k}$ para todo $k=1,2,\ldots, m$ .

Sea $n$ un entero positivo de la forma $4k+1$ , $k\in \mathbb N$ y $A = \{ a^2 + nb^2 \mid a,b \in \mathbb Z\}$ . Demuestre que existen enteros $x,y$ tales que $x^n+y^n \in A$ y $x+y \notin A$ .