Una función $f$ se llama inyectiva si cuando $f(n) = f(m)$ , entonces $n = m$ . Suponga que $f$ es inyectiva y $\frac{1}{f(n)}+\frac{1}{f(m)}=\frac{4}{f(n) + f(m)}$ . Demuestre que $m = n$

Una ciudad rectangular tiene exactamente $m$ cuadras de largo y $n$ cuadras de ancho (ver diagrama). Una mujer vive en la esquina suroeste de la ciudad y trabaja en la esquina noreste. Ella camina al trabajo todos los días, pero, en cualquier viaje dado, se asegura de que su camino no incluya ninguna intersección dos veces. Demuestre que el número $f(m,n)$ de diferentes caminos que puede tomar para ir al trabajo satisface $f(m,n) \le 2^{mn}$ .

Sea $0 < u < 1$ y defina \[u_1 = 1 + u, \quad u_2 = \frac{1}{u_1} + u, \quad \dots, \quad u_{n + 1} = \frac{1}{u_n} + u, \quad n \ge 1.\] Demuestre que $u_n > 1$ para todos los valores de $n = 1$ , 2, 3, $\dots$ .

Se da un cono circular recto con radio de la base 1 cm y altura inclinada 3 cm. $P$ es un punto en la circunferencia de la base y se dibuja el camino más corto desde $P$ alrededor del cono y de regreso a $P$ (ver diagrama). ¿Cuál es la distancia mínima desde el vértice $V$ hasta este camino?

Sean \[p(x) = a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_1 x + a_0\] y \[q(x) = b_m x^m + a_{m - 1} x^{m - 1} + \dots + b_1 x + b_0\] dos polinomios con coeficientes enteros. Suponga que todos los coeficientes del producto $p(x) \cdot q(x)$ son pares pero no todos son divisibles por 4. Demuestre que uno de $p(x)$ y $q(x)$ tiene todos los coeficientes pares y el otro tiene al menos un coeficiente impar.

$N$ es un entero cuya representación en base $b$ es $777$ . Encuentre el entero $b$ más pequeño para el cual $N$ es la cuarta potencia de un entero.

Sea $O$ el centro de un círculo y $A$ un punto interior fijo del círculo diferente de $O$ . Determine todos los puntos $P$ en la circunferencia del círculo tales que el ángulo $OPA$ es máximo.

Si $f(x) = x^2 + x$ , demuestre que la ecuación $4f(a) = f(b)$ no tiene soluciones en enteros positivos $a$ y $b$ .

Sean $C_1$ y $C_2$ dos círculos concéntricos con $C_1$ dentro de $C_2$. Sean $P_1$ y $P_2$ dos puntos en $C_1$ que no son diametralmente opuestos. Extienda el segmento $P_1P_2$ pasando $P_2$ hasta que se encuentre con el círculo $C_2$ en $Q_2$. La tangente a $C_2$ en $Q_2$ y la tangente a $C_1$ en $P_1$ se encuentran en un punto $X$. Dibuje desde X la segunda tangente a $C_2$ que se encuentra con $C_2$ en el punto $Q_1$. Demuestre que $P_1X$ biseca el ángulo $Q_1P_1Q_2$.

Un castillo mágico tiene $n$ habitaciones idénticas, cada una de las cuales contiene $k$ puertas dispuestas en línea. En la habitación $i, 1 \leq i \leq n - 1$ hay una puerta que te llevará a la habitación $i + 1$ , y en la habitación $n$ hay una puerta que te saca del castillo. Todas las demás puertas te llevan de vuelta a la habitación $1$ . Cuando pasas por una puerta y entras en una habitación, no puedes saber en qué habitación estás entrando y no puedes ver por qué puertas has pasado antes. Empiezas de pie en la habitación $1$ y conoces los valores de $n$ y $k$ . Determine para qué valores de $n$ y $k$ existe una estrategia que garantice que saldrá del castillo y explique la estrategia. Para tales valores de $n$ y $k$ , exhiba tal estrategia y demuestre que funcionará.