Considere $K$ un polígono en el plano, tal que la distancia entre dos vértices cualesquiera no sea mayor que $1$ . Sean $X$ e $Y$ dos puntos dentro de $K$ . Demuestre que existe un punto $Z$ , que se encuentra en la frontera de K, tal que $XZ + Y Z \le 1$

El plano se divide en una red de triángulos equiláteros de longitud de lado $1$ , con interiores disjuntos. Un damero se coloca inicialmente dentro de un triángulo. El damero se puede mover a otro triángulo que comparta un vértice común (con el triángulo que alberga el damero) y que tenga los lados opuestos (con respecto a este vértice) paralelos. Una trayectoria consiste en una secuencia finita de movimientos. Demuestre que no hay trayectoria entre dos triángulos que comparten un lado común.

Sean $a$ y $b$ enteros positivos. Considere el conjunto de todos los enteros no negativos $n$ para los cuales el número $\left(a+\frac12\right)^n +\left(b+\frac12\right)^n$ es un entero. Demuestre que el conjunto es finito.

Sean $a, b, c$ números reales positivos tales que $a + b + c \ge \frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c}$ . Demuestre que $ \frac{a}{b}+ \frac{b}{c}+ \frac{c}{a}\ge \frac{1}{ab}+ \frac{1}{bc}+ \frac{1}{ca}$ .

Sean $a,b,c > 0$ números reales con la suma igual a $3$ . Demuestre que: $$\frac{a+3}{3a+bc}+\frac{b+3}{3b+ca}+\frac{c+3}{3c+ab} \ge 3$$

Considere un polígono regular $A_0A_1...A_{n-1}, n \ge 3$ , y $m \in\{1, 2, ..., n - 1\}, m \ne n/2$ . Para cualquier número $i \in \{0,1, ... , n - 1\}$ , sea $r(i)$ el resto de $i + m$ en la división por $n$ . Demuestre que no tres segmentos $A_iA_{r(i)}$ son concurrentes.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero. Las diagonales $AC$ y $BD$ son perpendiculares en el punto $O$ . Las perpendiculares desde $O$ a los lados del cuadrilátero se encuentran con $AB, BC, CD, DA$ en $M, N, P, Q$ , respectivamente, y se encuentran nuevamente con $CD, DA, AB, BC$ en $M', N', P', Q'$ , respectivamente. Demuestre que los puntos $M, N, P, Q, M', N', P', Q'$ son concíclicos.

Encuentre todos los enteros no negativos $a,b,c,d$ tales que $7^a= 4^b + 5^c + 6^d$ .

Para obtener un cuadrado $P$ de longitud de lado $2$ cm dividido en $4$ cuadrados unitarios, es suficiente dibujar $3$ cuadrados: $P$ y otros $2$ cuadrados unitarios con un vértice común, como se muestra a continuación: https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/1/d/827516518871ec8ff00a66424f06fda9812193.png Encuentre el número mínimo de cuadrados suficientes para obtener un cuadrado de longitud de lado $n$ cm dividido en $n^2$ cuadrados unitarios ( $n \ge 3$ es un entero).

Sea $A$ un conjunto finito de números reales positivos que satisfacen la propiedad: Para cualquier número real a > 0, los conjuntos $\{x \in A | x > a\}$ y $\{x \in A | x < \frac{1}{a}\}$ tienen los cardinales de la misma paridad. Demuestre que el producto de todos los elementos en $A$ es igual a $1$ .