Considere un rombo $ABCD$ . Los puntos $M$ y $N$ están dados en los segmentos de línea $AC$ y $BC$ respectivamente, tales que $DM = MN$ . Las líneas $AC$ y $DN$ se encuentran en el punto $P$ y las líneas $AB$ y $DM$ se encuentran en el punto $R$ . Demuestre que $RP = PD$ .

Para todos los enteros positivos $n$, defina $a_n=2 \underbrace{33...3}_{n \, veces}$ , donde el dígito $3$ ocurre $n$ veces. Demuestre que el número $a_{2009}$ tiene infinitos múltiplos en el conjunto $\{a_n | n \in N*\}$ .

Encontrar el número natural más pequeño para el cual existen tantos números naturales tal que la suma de los cuadrados de sus cuadrados es igual a $ 1998. $

Se da un cuadrilátero inscriptible $ DEFG $ teniendo algunos vértices en los lados de un triángulo $ ABC, $ y algunos vértices (al menos uno de ellos) coincidiendo con los vértices del mismo triángulo. Sabiendo que las líneas $ DF $ y $ EG $ no son paralelas, encontrar el lugar geométrico de su intersección.

Resolver en $ \mathbb{Z}^2 $ la siguiente ecuación: $$ (x+1)(x+2)(x+3) +x(x+2)(x+3)+x(x+1)(x+3)+x(x+1)(x+2)=y^{2^x} . $$

Sea $ n $ un número natural. Encontrar todos los números enteros que pueden ser escritos como $$ \frac{1}{a_1} +\frac{2}{a_2} +\cdots +\frac{n}{a_n} , $$ donde $ a_1,a_2,...,a_n $ son números naturales.

Considerar el rectángulo $ ABCD $ y los puntos $ M,N,P,Q $ en los segmentos $ AB,BC,CD, $ respectivamente, $ DA, $ excluyendo sus extremos. Denotar con $ p_{\square} , A_{\square} $ el perímetro, respectivamente, el área de $ \square. $ Probar que: a) $ p_{MNPQ}\ge AC+BD. $ b) $ p_{MNPQ} =AC+BD\implies A_{MNPQ}\le \frac{A_{ABCD}}{2} . $ c) $ p_{MNPQ} =AC+BD\implies MP^2 +NQ^2\ge AC^2. $

Demostrar que $ \frac{\frac{1}{1\cdot 2} +\frac{1}{3\cdot 4}+\cdots +\frac1{1997\cdot 1998}}{\frac{2}{1000\cdot 1998} +\frac{1}{1001\cdot 1997}} $ es un número entero.

Sean $n$ y $q$ dos números naturales, $n\ge 2$, $q\ge 2$ y $q\not\equiv 1 (\text{mod}\ 4)$ y sea $K$ un campo finito que tiene exactamente $q$ elementos. Demostrar que para cualquier elemento $a$ de $K$, existen $x$ e $y$ en $K$ tales que $a = x^{2^n} + y^{2^n}$. (Todo campo finito es conmutativo).

Demostrar que una función continua $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es creciente si y sólo si $$(c - b)\int_a^b f(x)\, \text{d}x \le (b - a) \int_b^c f(x) \, \text{d}x,$$ para cualquier número real $a < b < c$.