Sean los círculos $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ con radios $r_1$ y $r_2$, respectivamente. Suponga que $r_1 < r_2$. Sea $T$ un punto de intersección de $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$, y sea $S$ la intersección de las tangentes externas comunes de $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$. Si se da que las tangentes a $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ en $T$ son perpendiculares, determine la longitud de $ST$ en términos de $r_1$ y $r_2$.

¿De cuántas maneras se puede llenar una cuadrícula de $3 \times 3$ con los números $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$ y $9$, de modo que el conjunto de tres elementos en cada fila y cada columna formen una progresión aritmética en algún orden? (Cada número debe usarse exactamente una vez)

Hay dos impostores y siete compañeros de tripulación en Polus. ¿De cuántas maneras pueden dividirse las nueve personas en tres grupos de tres, de modo que cada grupo tenga al menos dos compañeros de tripulación? Suponga que los dos impostores y los siete compañeros de tripulación son todos distinguibles entre sí, pero que los tres grupos no son distinguibles entre sí.

Para $t \ge 2$ , defina $S(t)$ como el número de veces que $t$ divide a $t!$ . Decimos que un entero positivo $t$ es un pico si $S(t) > S(u)$ para todos los valores de $u < t$ . Pruebe o refute la siguiente declaración: Para cada primo $p$ , hay un entero $k$ para el cual $p$ divide a $k$ y $k$ es un pico.

Hay $n$ pasajeros en una línea, esperando para abordar un avión con $n$ asientos. Para $1 \le k \le n$ , el $k^{th}$ pasajero en la línea tiene un boleto para el asiento $k^{th}$. Sin embargo, el primer pasajero ignora su boleto, y decide sentarse en un asiento al azar. A partir de entonces, cada pasajero se sienta de la siguiente manera: Si su asiento asignado está vacío, entonces él/ella se sienta en él. De lo contrario, él/ella se sienta en un asiento vacío al azar. ¿De cuántas maneras diferentes pueden ser sentados todos los $n$ pasajeros?

Se da el pentágono $ABCDE$ en el plano. Sea la perpendicular de $A$ a la línea $CD$ como $F$ , la perpendicular de $B$ a $DE$ como $G$ , de $C$ a $EA$ como $H$ , de $D$ a $AB$ como $I$ , y de $E$ a $BC$ como $J$ . Dado que las líneas $AF,BG,CH$ , y $DI$ concurren, muestre que también concurren con la línea $EJ$ .

Sea $(m,n,N)$ una terna de enteros positivos. Bruce y Duncan juegan un juego en un arreglo de m\times n, donde las entradas son todas inicialmente ceros. El juego tiene las siguientes reglas. $\bullet$ Los jugadores alternan turnos, con Bruce yendo primero. $\bullet$ En el turno de Bruce, él elige una fila y suma $1$ a todas las entradas en la fila o resta $1$ de todas las entradas en la fila. $\bullet$ En el turno de Duncan, él elige una columna y suma $1$ a todas las entradas en la columna o resta $1$ de todas las entradas en la columna. $\bullet$ Bruce gana si en algún momento hay una entrada $x$ con $|x|\ge N$ . Encuentre todas las ternas $(m, n,N)$ tal que no importa cómo juegue Duncan, Bruce tiene una estrategia ganadora.

Sea $n$ un entero positivo. Para un entero positivo $m$ , particionamos el conjunto $\{1, 2, 3,...,m\}$ en $n$ subconjuntos, de modo que el producto de dos elementos diferentes en el mismo subconjunto nunca sea un cuadrado perfecto. En términos de $n$ , encuentre el entero positivo más grande $m$ para el cual existe tal partición.

Sea $f(x) = x^3 + 3x^2 - 1$ con raíces $a,b,c$ . (a) Encuentre el valor de $a^3 + b^3 + c^3$ (b) Encuentre todos los valores posibles de $a^2b + b^2c + c^2a$

Rosemonde está apilando esferas para hacer pirámides. Ella construye dos tipos de pirámides $S_n$ y $T_n$ . La pirámide $S_n$ tiene $n$ capas, donde la capa superior es una sola esfera y la capa $i^{th}$ es una rejilla cuadrada de $i\times$ i esferas para cada $2 \le i \le n$ . Del mismo modo, la pirámide $T_n$ tiene $n$ capas donde la capa superior es una sola esfera y la capa $i^{th}$ es $\frac{i(i+1)}{2}$ esferas dispuestas en un triángulo equilátero para cada $2 \le i \le n$ .