Muestre que un número $n(n+1)$ donde $n$ es un entero positivo es la suma de 2 números $k(k+1)$ y $m(m+1)$ donde $m$ y $k$ son enteros positivos si y sólo si el número $2n^2+2n+1$ es compuesto.

Sea $ABC$ un triángulo, y sea $M$ un punto en el lado $(AC)$ .La línea que pasa por $M$ y es paralela a $BC$ cruza $AB$ en $N$ . Los segmentos $BM$ y $CN$ se cruzan en $P$ , y los círculos $BNP$ y $CMP$ se cruzan de nuevo en $Q$ . Muestre que los ángulos $BAP$ y $CAQ$ son iguales.

Dado un entero no negativo $k$ , demuestre que hay infinitos enteros positivos $n$ tales que el producto de cualquier $n$ enteros consecutivos es divisible por $(n+k)^2+1$ .

Divida el plano en cuadrados de $1$ x $1$ formados por los puntos de la red. Sea $S$ la unión teórica de conjuntos de un número finito de tales celdas, y sea $a$ un número real positivo menor o igual que 1/4. Muestre que S puede ser cubierto por un número finito de cuadrados que satisfacen las siguientes tres condiciones: 1) Cada cuadrado en la cubierta es una matriz de celdas de $1$ x $1$ 2) Los cuadrados en la cubierta tienen interiores disjuntos por pares y 3) Para cada cuadrado $Q$ en la cubierta, la razón del área $S \cap Q$ al área de Q es al menos $a$ y a lo sumo $a {(\lfloor a^{-1/2} \rfloor)} ^2$

Sea $ABC$ un triángulo, sea $I$ su incentro, sea $\Omega$ su circuncírculo, y sea $\omega$ el incírculo $A$ - mixtilíneo. Sean $D,E$ y $T$ las intersecciones de $\omega$ y $AB,AC$ y $\Omega$ , respectivamente, sea la línea $IT$ cruza $\omega$ de nuevo en $P$ , y sean las líneas $PD$ y $PE$ cruzan la línea $BC$ en $M$ y $N$ respectivamente. Demostrar que los puntos $D,E,M,N$ son concíclicos. ¿Cuál es el centro de este círculo?

Hallar el menor número $c$ que satisface la condición $\sum_{i=1}^n {x_i}^2\leq cn$ y todos los números reales $x_1,x_2,...,x_n$ son mayores o iguales que $-1$ tal que $\sum_{i=1}^n {x_i}^3=0$.

Demuestre que existe (al menos) una reorganización $a_0, a_1, a_2,..., a_{63}$ de los números $0,1, 2,..., 63$ , tal que $a_i - a_j \ne a_j - a_k$ , para cualquier $i < j < k \in \{0,1, 2,..., 63\}$ .

Sea $ABC$ un triángulo y $A_1$ el pie de la bisectriz interna del ángulo $BAC$ . Considere $d_A$ la línea perpendicular desde $A_1$ en $BC$ . Defina análogamente las líneas $d_B$ y $d_C$ . Demuestre que las líneas $d_A, d_B$ y $d_C$ son concurrentes si y sólo si el triángulo $ABC$ es isósceles.

Un entero positivo se llama saturado si cualquier factor primo ocurre a una potencia mayor o igual a $2$ en su factorización. Por ejemplo, los números $8 = 2^3$ y $9 = 3^2$ son saturados, además, son consecutivos. Demuestre que existen infinitos números consecutivos saturados.

Demuestre que en cualquier triángulo $ABC$ con $A = 90^0$ se cumple la siguiente desigualdad: $$(AB -AC)^2(BC^2 + 4AB \cdot AC)^2 \le 2BC^6$$