En el triángulo $ABC$ , sea $\omega$ el excírculo opuesto a $A$ . Sean $D, E$ y $F$ los puntos donde $\omega$ es tangente a $BC, CA$ , y $AB$ , respectivamente. El círculo $AEF$ interseca la línea $BC$ en $P$ y $Q$ . Sea $M$ el punto medio de $AD$ . Demuestre que el círculo $MPQ$ es tangente a $\omega$ .

Dado un entero $n \geq 2$ determine la parte entera del número $ \sum_{k=1}^{n-1} \frac {1} {({1+\frac{1} {n}}) \dots ({1+\frac {k} {n})}}$ - $\sum_{k=1}^{n-1} (1-\frac {1} {n}) \dots(1-\frac{k}{n})$

Sea $n$ un entero positivo. Defina un camaleón como cualquier secuencia de $3n$ letras, con exactamente $n$ ocurrencias de cada una de las letras $a, b,$ y $c$ . Defina un intercambio como la transposición de dos letras adyacentes en un camaleón. Demuestre que para cualquier camaleón $X$ , existe un camaleón $Y$ tal que $X$ no se puede cambiar a $Y$ usando menos de $3n^2/2$ intercambios.

Sea $O$ el circuncentro de un triángulo acutángulo $ABC$ . La línea $OA$ interseca las alturas de $ABC$ a través de $B$ y $C$ en $P$ y $Q$ , respectivamente. Las alturas se encuentran en $H$ . Demuestre que el circuncentro del triángulo $PQH$ se encuentra en una mediana del triángulo $ABC$ .

Dados dos enteros positivos $m$ y $n$ , demuestre que existe un entero positivo $k$ y un conjunto $S$ de al menos $m$ múltiplos de $n$ tales que los números $\frac {2^k{\sigma({s})}} {s}$ son impares para cada $s \in S$ . $\sigma({s})$ es la suma de todos los enteros positivos de $s$ (1 y $s$ incluidos).

Para cada entero $n \ge 2$ sea $B_n$ denota el conjunto de todas las $n$ - tuplas binarias de ceros y unos, y divida $B_n$ en clases de equivalencia dejando que dos $n$ - tuplas sean equivalentes si una se obtiene de la otra por una permutación cíclica.(por ejemplo 110, 011 y 101 son equivalentes). Determine los enteros $n \ge 2$ para los cuales $B_n$ se divide en un número impar de clases de equivalencia.

Dado un entero libre de cuadrados $n>2$ , evalúe la suma $\sum_{k=1}^{(n-2)(n-1)} \lfloor ({kn})^{1/3} \rfloor$ .

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico y sean sus diagonales $AC$ y $BD$ se cruzan en $X$ . Sea $I$ el incentro de $XBC$ , y sea $J$ el centro del círculo tangente al lado $BC$ y las extensiones de los lados $AB$ y $DC$ más allá de $B$ y $C$ . Demuestre que la línea $IJ$ biseca el arco $BC$ del círculo $ABCD$ , que no contiene los vértices $A$ y $D$ del cuadrilátero.

Sea $D$ un subconjunto no vacío de enteros positivos y sea $d$ el máximo común divisor de $D$ , y sea $d\mathbb{Z}=[dn: n \in \mathbb{Z} ]$ . Demuestre que existe una biyección $f: \mathbb{Z} \rightarrow d\mathbb{Z} $ tal que $| f(n+1)-f(n)|$ es miembro de $D$ para cada entero $n$ .

Considere una configuración de 4 puntos en el plano tal que cada 3 puntos pueden ser cubiertos por una franja de ancho unitario. Demuestre que: 1) los cuatro puntos pueden ser cubiertos por una franja de longitud como máximo $\sqrt2$ y 2) si ninguna franja de longitud menor que $\sqrt2$ cubre todos los cuatro puntos, entonces los puntos son vértices de un cuadrado de longitud $\sqrt2$