Si $(a,~b,~c)$ es una terna de números reales, defina $g(a,~b,~c)=(a+b,~b+c,~a+c)$ , y $g^n(a,~b,~c)=g(g^{n-1}(a,~b,~c))$ para $n\ge 2$ Suponga que existe un entero positivo $n$ tal que $g^n(a,~b,~c)=(a,~b,~c)$ para algún $(a,~b,~c)\neq (0,~0,~0)$ . Demuestre que $g^6(a,~b,~c)=(a,~b,~c)$

Hay $15$ revistas sobre una mesa, y cubren toda la superficie de la mesa. Demuestre que siempre se pueden quitar $7$ revistas de tal manera que las restantes cubran al menos $\dfrac{8}{15}$ del área de la superficie de la mesa

La sucesión de Fibonacci está definida por $f_1=f_2=1$ y $f_n=f_{n-1}+f_{n-2}$ para $n\ge 3$ . Un triángulo pitagórico es un triángulo rectángulo con lados de longitud entera. Demuestre que $f_{2k+1}$ es la hipotenusa de un triángulo pitagórico para cada entero positivo $k$ con $k\ge 2$

Determine el entero positivo más pequeño $m$ con la propiedad de que $m^3-3m^2+2m$ es divisible por $79$ y $83$ .

Demuestre que no hay ningún número real $x$ que satisfaga ambas ecuaciones \begin{align*}2^x+1=2\sin x \\ 2^x-1=2\cos x.\end{align*}

Dos tangentes $AT$ y $BT$ tocan un círculo en $A$ y $B$ , respectivamente, y se encuentran perpendicularmente en $T$ . $Q$ está en $AT$ , $S$ está en $BT$ , y $R$ está en el círculo, de modo que $QRST$ es un rectángulo con $QT = 8$ y $ST = 9$ . Determine el radio del círculo.

Suponga que $a$ , $b$ y $x$ son números reales positivos. Demuestre que $\log_{ab} x =\dfrac{\log_a x\log_b x}{\log_ax+\log_bx}$ .

Una cadena de longitud $n$ es una secuencia de $n$ caracteres de un conjunto especificado. Por ejemplo, $BCAAB$ es una cadena de longitud 5 con caracteres del conjunto $\{A,B,C\}$ . Una subcadena de una cadena dada es una cadena de caracteres que aparecen consecutivamente y en orden en la cadena dada. Por ejemplo, la cadena $CA$ es una subcadena de $BCAAB$ pero $BA$ no es una subcadena de $BCAAB$ . Enumere todas las cadenas de longitud 4 con caracteres del conjunto $\{A,B,C\}$ en las que las cadenas $AB$ y $BA$ aparecen como subcadenas. (Por ejemplo, la cadena $ABAC$ debería aparecer en su lista). Determine el número de cadenas de longitud 7 con caracteres del conjunto $\{A,B,C\}$ en las que $CC$ aparece como una subcadena. Sea $f(n)$ el número de cadenas de longitud $n$ con caracteres del conjunto $\{A,B,C\}$ tal que $CC$ aparece como una subcadena, y si $AB$ o $BA$ aparece como una subcadena entonces hay una aparición de la subcadena $CC$ a su izquierda. (por ejemplo, cuando $n\;=\;6$ , las cadenas $CCAABC$ y $ACCBBB$ y $CCABCC$ satisfacen los requisitos, pero las cadenas $BACCAB$ y $ACBBAB$ y $ACBCAC$ no lo hacen). Demuestre que $f(2097)$ es un múltiplo de $97$ .

Determine el entero positivo $x$ para el cual $\dfrac14-\dfrac{1}{x}=\dfrac16.$ Determine todos los pares de enteros positivos $(a,b)$ para los cuales $ab-b+a-1=4.$ Determine el número de pares de enteros positivos $(y,z)$ para los cuales $\dfrac{1}{y}-\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{12}.$ Demuestre que, para cada número primo $p$ , hay al menos dos pares $(r,s)$ de enteros positivos para los cuales $\dfrac{1}{r}-\dfrac{1}{s}=\dfrac{1}{p^2}.$

Alexandra dibuja una letra A que se encuentra en el eje $x$. El lado izquierdo de la letra A se encuentra a lo largo de la línea con ecuación $y=3x+6$ . ¿Cuál es la intersección con el eje $x$ de la línea con ecuación $y=3x+6$ ? El lado derecho de la letra A se encuentra a lo largo de la línea $L_2$ y la letra es simétrica con respecto al eje $y$. ¿Cuál es la ecuación de la línea $L_2$ ? Determine el área del triángulo formado por el eje $x$ y los lados izquierdo y derecho de la letra A. Alexandra completa la letra A agregando a la Figura 1. Dibuja la parte horizontal de la letra A a lo largo de la línea $y=c$ , como en la Figura 2. El área de la región sombreada dentro de la letra A y por encima de la línea con ecuación $y=c$ es $\frac49$ del área total de la región por encima del eje $x$ y entre los lados izquierdo y derecho. Determine el valor de $c$ . Figura 1 [asy]\n/* Geogebra to Asymptote conversion, documentation at artofproblemsolving.com/Wiki go to User:Azjps/geogebra */\nimport graph; size(10cm); \nreal labelscalefactor = 0.5; /* changes label-to-point distance */\npen dps = linewidth(0.7) + fontsize(10); defaultpen(dps); /* default pen style */ \npen dotstyle = black; /* point style */ \nreal xmin = -4.8408113739622465, xmax = 5.491811096383217, ymin = -3.0244242161812847, ymax = 8.241467380517944; /* image dimensions */\npen cqcqcq = rgb(0.7529411764705882,0.7529411764705882,0.7529411764705882); \n\n\nLabel laxis; laxis.p = fontsize(10); \nxaxis(xmin, xmax, EndArrow(6), above = true); \nyaxis(ymin, ymax, EndArrow(8.25),above = true); /* draws axes; NoZero hides '0' label */ /* draw figures */\ndraw((0,6)--(-2,0), linewidth(2)); \ndraw((-2,0)--(2,0), linewidth(2)); \ndraw((2,0)--(0,6), linewidth(2)); \nlabel('$y=3x+6$',(-2.874280000573916,3.508459668295191),SE*labelscalefactor); \nlabel('$L_2$',(1.3754276283584919,3.5917872688624928),SE*labelscalefactor); \nlabel('$O$',(0,0),SW*labelscalefactor); /* dots and labels */\nclip((xmin,ymin)--(xmin,ymax)--(xmax,ymax)--(xmax,ymin)--cycle; /* end of picture */\n[/asy] Figura 2 [asy]\n/* Geogebra to Asymptote conversion, documentation at artofproblemsolving.com/Wiki go to User:Azjps/geogebra */\nimport graph; size(10cm); \nreal labelscalefactor = 0.5; /* changes label-to-point distance */\npen dps = linewidth(0.7) + fontsize(10); defaultpen(dps); /* default pen style */ \npen dotstyle = black; /* point style */ \nreal xmin = -4.707487213054563, xmax = 5.6251352572909, ymin = -3.4577277391312538, ymax = 7.808163857567977; /* image dimensions */\npen cqcqcq = rgb(0.7529411764705882,0.7529411764705882,0.7529411764705882); \n\ndraw((-1.114884596113444,2.6553462116596678)--(1.1148845961134441,2.6553462116596678)--(0,6)--cycle, linewidth(2)); \n\n\nLabel laxis; laxis.p = fontsize(10); \nxaxis(xmin, xmax, EndArrow(6), above = true); \nyaxis(ymin, ymax, EndArrow(6), above = true); /* draws axes; NoZero hides '0' label */ /* draw figures */\ndraw((0,6)--(-2,0), linewidth(2)); \ndraw((-2,0)--(2,0), linewidth(2)); \ndraw((2,0)--(0,6), linewidth(2)); \nlabel('$O$',(0,0),SW*labelscalefactor); \ndraw((-1.114884596113444,2.6553462116596678)--(1.1148845961134441,2.6553462116596678), linewidth(2)); \ndraw((-1.114884596113444,2.6553462116596678)--(1.1148845961134441,2.6553462116596678), linewidth(2)); \ndraw((1.1148845961134441,2.6553462116596678)--(0,6), linewidth(2)); \ndraw((0,6)--(-1.114884596113444,2.6553462116596678), linewidth(2)); \nfill((0,6)--(-1.114884596113444,2.6553462116596678)--(1.1148845961134441,2.6553462116596678)--cycle,black);\nlabel('$y=c$',(1.4920862691527148,3.1251527056856054),SE*labelscalefactor); /* dots and labels */\nclip((xmin,ymin)--(xmin,ymax)--(xmax,ymax)--(xmax,ymin)--cycle; /* yes i used geogebra fight me*/\n[/asy]