Dado un entero positivo $k\geq2$, sea $a_1=1$ y, para cada entero $n\geq 2$, sea $a_n$ la solución más pequeña de la ecuación \[x=1+\sum_{i=1}^{n-1}\left\lfloor\sqrt[k]{\frac{x}{a_i}}\right\rfloor\] que excede a $a_{n-1}$. Pruebe que todos los primos están entre los términos de la secuencia $a_1,a_2,\ldots$

Suponga dos cuadriláteros convexos en el plano $P$ y $P'$, comparten un punto $O$ tal que, para cada recta $l$ que pasa por $O$, el segmento a lo largo del cual $l$ y $P$ se intersecan es más largo que el segmento a lo largo del cual $l$ y $P'$ se intersecan. ¿Es posible que la razón del área de $P'$ al área de $P$ sea mayor que $1.9$?

Sea $ABCD$ un cuadrilátero inscrito en un círculo $\omega$. Las rectas $AB$ y $CD$ se intersecan en $P$, las rectas $AD$ y $BC$ se intersecan en $Q$, y las diagonales $AC$ y $BD$ se intersecan en $R$. Sea $M$ el punto medio del segmento $PQ$, y sea $K$ el punto común del segmento $MR$ y el círculo $\omega$. Pruebe que la circunferencia circunscrita del triángulo $KPQ$ y $\omega$ son tangentes entre sí.

¿Existe un par $(g,h)$ de funciones $g,h:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ tal que la única función $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ que satisface $f(g(x))=g(f(x))$ y $f(h(x))=h(f(x))$ para todo $x\in\mathbb{R}$ es la función identidad $f(x)\equiv x$?

Para un entero positivo $a$, define una secuencia de enteros $x_1,x_2,\ldots$ definiendo $x_1=a$ y $x_{n+1}=2x_n+1$ para $n\geq 1$. Sea $y_n=2^{x_n}-1$. Determine el mayor $k$ posible tal que, para algún entero positivo $a$, los números $y_1,\ldots,y_k$ son todos primos.

Para cada entero no negativo $k$ , sea $S(k)$ la suma de los dígitos decimales de $k$ . Sean $P(x)$ y $Q(x)$ polinomios con coeficientes enteros no negativos tales que $S(P(n)) = S(Q(n))$ para todos los enteros no negativos $n$ . Demostrar que existe un entero $t$ tal que $P(x) - 10^tQ(x)$ es un polinomio constante.

Sea $n$ un entero positivo. Sea $S$ un conjunto de pares ordenados $(x, y)$ tales que $1\leq x \leq n$ y $0 \leq y \leq n$ en cada par, y no hay pares $(a, b)$ y $(c, d)$ de diferentes elementos en $S$ tales que $a^2+b^2$ divide tanto a $ac+bd$ como a $ad - bc$ . En términos de $n$ , determinar el tamaño del conjunto más grande posible $S$ .

Se elige un punto $P$ dentro de un triángulo $ABC$ con circuncírculo $\Omega$ . Sea $\Gamma$ el círculo que pasa por los circuncentros de los triángulos $APB$ , $BPC$ , y $CPA$ . Sean $\Omega$ y $\Gamma$ que se intersecan en los puntos $X$ e $Y$ . Sea $Q$ la reflexión de $P$ en la línea $XY$ . Demostrar que $\angle BAP = \angle CAQ$ .

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico. Sean $DA$ y $BC$ que se intersecan en $E$ y sean $AB$ y $CD$ que se intersecan en $F$ . Asuma que $A, E, F$ están todos en el mismo lado de $BD$ . Sea $P$ en el segmento $DA$ tal que $\angle CPD = \angle CBP$ , y sea $Q$ en el segmento $CD$ tal que $\angle DQA = \angle QBA$ . Sea $AC$ y $PQ$ que se encuentran en $X$ . Demostrar que, si $EX = EP$ , entonces $EF$ es perpendicular a $AC$ .

Sea $ABC$ un triángulo con incentro $I$ y circuncírculo $\omega$ . El incírculo del triángulo $ABC$ toca los lados $BC$ , $CA$ y $AB$ en $D$ , $E$ y $F$ , respectivamente. El circuncírculo del triángulo $ADI$ cruza $\omega$ de nuevo en $P$ , y las líneas $PE$ y $PF$ cruzan $\omega$ de nuevo en $X$ e $Y$ , respectivamente. Demostrar que las líneas $AI$ , $BX$ y $CY$ son concurrentes.