3 Sean $x,y$ y $z$ números reales positivos tales que $xyz=1$ . Demuestre que \[ \frac{x^{3}}{(1 + y)(1 + z)}+\frac{y^{3}}{(1 + z)(1 + x)}+\frac{z^{3}}{(1 + x)(1 + y)} \geq \frac{3}{4}. \]

4 Para cualesquiera dos enteros no negativos $n$ y $k$ que satisfacen $n\geq k$ , definimos el número $c(n,k)$ como sigue: - $c\left(n,0\right)=c\left(n,n\right)=1$ para todo $n\geq 0$ ; - $c\left(n+1,k\right)=2^{k}c\left(n,k\right)+c\left(n,k-1\right)$ para $n\geq k\geq 1$ . Demuestre que $c\left(n,k\right)=c\left(n,n-k\right)$ para todo $n\geq k\geq 0$ .

5 Determine el menor valor posible de $f(1998),$ donde $f:\Bbb{N}\to \Bbb{N}$ es una función tal que para todo $m,n\in {\Bbb N}$ , \[f\left( n^{2}f(m)\right) =m\left( f(n)\right) ^{2}. \]

1 Se da una tabla rectangular de números. En cada fila y en cada columna, la suma de todos los números es un entero. Demuestre que cada número no entero $x$ de la tabla puede cambiarse por $\lceil x\rceil $ o por $\lfloor x\rfloor $ de modo que las sumas de las filas y las sumas de las columnas permanezcan sin cambios. (Nótese que $\lceil x\rceil $ es el menor entero mayor o igual que $x$ , mientras que $\lfloor x\rfloor $ es el mayor entero menor o igual que $x$ . )

2 Sea $n$ un entero mayor que 2. Se dice que un entero positivo es alcanzable si es 1 o puede obtenerse a partir de 1 mediante una sucesión de operaciones con las siguientes propiedades: 1.) La primera operación es una suma o una multiplicación. 2.) A partir de entonces, las sumas y las multiplicaciones se usan alternadamente. 3.) En cada suma, se puede elegir independientemente sumar 2 o $n$ . 4.) En cada multiplicación, se puede elegir independientemente multiplicar por 2 o por $n$ . Se dice que un entero positivo que no puede obtenerse de esta manera es inalcanzable. a.) Demuestre que si $n\geq 9$ , hay infinitos enteros positivos inalcanzables. b.) Demuestre que si $n=3$ , todos los enteros positivos excepto 7 son alcanzables.

3 Cartas numeradas del 1 al 9 se colocan al azar en una fila. En un movimiento, se puede elegir cualquier bloque de cartas consecutivas cuyos números estén en orden ascendente o descendente, e invertir el bloque. Por ejemplo, 9 1 $\underline{6\ 5\ 3}$ $2\ 7\ 4\ 8$ puede cambiarse a $9 1$ $\underline{3\ 5\ 6}$ $2\ 7\ 4\ 8$ . Demuestre que en a lo sumo 12 movimientos se pueden ordenar las 9 cartas de modo que sus números queden en orden ascendente o descendente.

5 En un concurso hay $m$ candidatos y $n$ jueces, donde $n\geq 3$ es un entero impar. Cada juez evalúa a cada candidato como aprobado o reprobado. Suponga que cada par de jueces coincide en a lo sumo $k$ candidatos. Demuestre que \[{\frac{k}{m}} \geq {\frac{n-1}{2n}}. \]

6 Se marcan diez puntos en el plano de modo que no haya tres de ellos sobre una misma recta. Cada par de puntos se une con un segmento. Cada uno de estos segmentos se pinta con uno de $k$ colores, de manera que para cualesquiera $k$ de los diez puntos haya $k$ segmentos que unan, cada uno, dos de ellos, y de los cuales no haya dos pintados con el mismo color. Determine todos los enteros $k$ , $1\leq k\leq 10$ , para los cuales esto es posible.

Halle todas las funciones $f:\mathbb {Z}\to\mathbb Z$ que satisfacen que para cualesquiera enteros ${a}$ , ${b}$ , ${c}$ , $$2f(a^2+b^2+c^2)-2f(ab+bc+ca)=f(a-b)^2+f(b-c)^2+f(c-a)^2$$

3 Sea $n$ un entero positivo. ¿Tiene $n^2$ más divisores positivos de la forma $4k+1$ o de la forma $4k-1$ ?