Sean $a,b,c$ reales positivos con $ab + bc + ca = 3$. Demuestra que: \[ \frac {1}{1 + a^2(b + c)} + \frac {1}{1 + b^2(a + c)} + \frac {1}{1 + c^2(b + a)}\le \frac {1}{abc}.\]

De los números $1,2,3,...,37$ elegimos aleatoriamente 10 números. Demuestra que entre estos existen cuatro números distintos, tales que la suma de dos de ellos es igual a la suma de los otros dos.

Sean $a,b$ números reales no nulos, tales que el número $ \lfloor an + b \rfloor$ es un entero par para cada $n \in \mathbb{N}$. Demuestra que $a$ es un entero par.

Sea $n$ un entero positivo y sean $a_1,a_2,\ldots,a_n$ números reales positivos tales que: \[ \sum^n_{i = 1} a_i = \sum^n_{i = 1} \frac {1}{a_i^2}.\] Demuestra que para cada $i = 1,2,\ldots,n$ podemos encontrar $i$ números con suma al menos $i$.

En una secuencia de números naturales $a_1,a_2,...,a_n$ cada número $a_k$ representa la suma de los múltiplos de $k$ de la secuencia. Encuentra todos los valores posibles para $n$.

Considera el triángulo acutángulo $ABC$, altura $AD$ y punto $E$ - intersección de $BC$ con el diámetro desde $A$ de la circunferencia circunscrita. Sean $M,N$ puntos simétricos de $D$ con respecto a las rectas $AC$ y $AB$ respectivamente. Demuestra que $ \angle{EMC} = \angle{BNE}$.

Sea $n$ un entero, $n\geq 2$, y los enteros $a_1,a_2,\ldots,a_n$, tales que $0 < a_k\leq k$, para todo $k = 1,2,\ldots,n$. Sabiendo que el número $a_1 + a_2 + \cdots + a_n$ es par, demuestra que existe una elección de los signos $+$, respectivamente $-$, tal que \[ a_1 \pm a_2 \pm \cdots \pm a_n= 0.\]

Sea $ABC$ un triángulo, y $D$ el punto medio del lado $BC$. En los lados $AB$ y $AC$ consideramos los puntos $M$ y $N$, respectivamente, ambos diferentes de los puntos medios de los lados, tales que \[ AM^2+AN^2 =BM^2 + CN^2 \textrm{ y } \angle MDN = \angle BAC.\] Demuestra que $ \angle BAC = 90^\circ$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Consideramos el triángulo equilátero $A'UV$, donde $A' \in (BC)$, $U\in (AC)$ y $V\in(AB)$ tal que $UV \parallel BC$. Definimos los puntos $B',C'$ de la misma manera. Demuestra que $AA'$, $BB'$ y $CC'$ son concurrentes.

Demuestra que para cada $n \in \mathbb{N}^*$ existe un múltiplo de $n$, cuya suma de dígitos es igual a $n$.