Sea $ABC$ un triángulo tal que $AB=AC$ . Suponga que la tangente a la circunferencia circunscrita de $ABC$ en $B$ es perpendicular a $AC$. Encuentre el ángulo $ABC$ medido en grados.

Sea $N$ el entero positivo más pequeño tal que $N+2N+3N+\ldots +9N$ es un número cuyos dígitos son todos iguales. ¿Cuál es la suma de los dígitos de $N$ ?

Sea $a_1=24$ y forme la secuencia $a_n$ , $n\geq 2$ mediante $a_n=100a_{n-1}+134$ . Los primeros términos son $$24,2534,253534,25353534,\ldots$$ ¿Cuál es el valor mínimo de $n$ para el cual $a_n$ es divisible por $99$ ?

Encuentra el número de enteros positivos menores que 101 que no se pueden escribir como la diferencia de dos cuadrados de enteros.

Si $x=\sqrt2+\sqrt3+\sqrt6$ es una raíz de $x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0$ donde $a,b,c,d$ son enteros, ¿cuál es el valor de $|a+b+c+d|$ ?

Considere la secuencia de números $\left[n+\sqrt{2n}+\frac12\right]$ , donde $[x]$ denota el mayor entero que no excede a $x$ . Si los enteros faltantes en la secuencia son $n_1<n_2<n_3<\ldots$ encuentre $n_{12}$

Sea $E$ el conjunto de todos los números naturales $n$ tales que $3 < n < 100$ y el conjunto $\{ 1, 2, 3, \ldots , n\}$ puede ser particionado en $3$ subconjuntos con sumas iguales. Encuentre el número de elementos de $E$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB=15$ y $BC=8$. Sea $D$ un punto en $AB$ tal que $BD=BC$. Considere los puntos $E$ en $AC$ tales que $\angle DEB=\angle BEC$. Si $\alpha$ denota el producto de todos los valores posibles de $AE$, encuentra $\lfloor \alpha \rfloor$, la parte entera de $\alpha$.

En un triángulo $ABC$, se sabe que $\angle A=100^{\circ}$ y $AB=AC$. La bisectriz interna del ángulo $BD$ tiene una longitud de $20$ unidades. Encuentra la longitud de $BC$ al entero más cercano, dado que $\sin 10^{\circ} \approx 0.174$.

Un vaso cónico tiene la forma de un cono circular recto. La altura inclinada es $21$ y el radio del borde superior del vaso es $14$. Una hormiga en el punto medio de una línea inclinada en la pared exterior del vaso ve una gota de miel diametralmente opuesta a ella en la pared interior del vaso. Si $d$ es la distancia más corta que debe arrastrarse para alcanzar la gota de miel, ¿cuál es la parte entera de $d$ ?