Sea $p$ un número primo, $p \not = 3$, y enteros $a,b$ tales que $p\mid a+b$ y $p^2\mid a^3 + b^3$. Demuestra que $p^2\mid a + b$ o $p^3\mid a^3 + b^3$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo. Suponga que se construyen triángulos isósceles similares $APB, BQC, CRD, DSA$ con las bases en los lados de $ABCD$ en el exterior del cuadrilátero de tal manera que $PQRS$ es un rectángulo pero no un cuadrado. Demuestre que $ABCD$ es un rombo.

Las alturas de un triángulo tienen longitud entera y su inradio es un número primo. Encuentre todos los valores posibles de los lados del triángulo.

Para cada entero positivo $ n$ , defina $ f(n)=lcm(1,2,...,n)$ . (a) Demuestre que para cada $ k$ existen $ k$ enteros positivos consecutivos en los que $ f$ es constante. (b) Encuentre la cardinalidad máxima posible de un conjunto de enteros positivos consecutivos en los que $ f$ está estrictamente aumentando y encuentre todos los conjuntos para los que se alcanza este máximo.

¿Cuántas coloraciones de un $n$ -ágono en $p \ge 2$ colores hay tales que no hay dos vértices vecinos que tengan el mismo color?

Encuentre una secuencia de enteros positivos $f(n)$ ( $n \in \mathbb{N}$ ) tal que: (i) $f(n) \leq n^8$ para cualquier $n \geq 2$ ; (ii) para cualquier $a_1, \cdots, a_k, n$ distintos, $f(n) \neq f(a_1) + \cdots+ f(a_k)$ .

Sea $f$ un polinomio mónico irreducible (en $Z[x]$ ) con coeficientes enteros y de grado impar mayor que $1$ . Suponga que los módulos de las raíces de $f$ son mayores que $1$ y que $f(0)$ es un número libre de cuadrados. Demuestre que el polinomio $g(x) = f(x^3)$ también es irreducible

Un cubo se divide en un número finito de paralelepípedos rectangulares con los bordes paralelos a los bordes del cubo. Demuestre que si la suma de los volúmenes de las circunscritas de estos paralelepípedos es igual al volumen de la esfera circunscrita del cubo, entonces todos los paralelepípedos son cubos.

Sean $a_1, a_2,...., a_n$ enteros positivos distintos. Demuestre que $(a_1^5 + ...+ a_n^5) + (a_1^7 + ...+ a_n^7) \ge 2(a_1^3 + ...+ a_n^3)^2$ y encuentre los casos de igualdad.

Un conjunto convexo $S$ en un plano, que no se encuentra en una línea, está pintado en $p$ colores. Demuestre que para cada $n \ge 3$ existen infinitos $n$ -ágonos congruentes cuyos vértices son del mismo color.