Sea $P_1P_2\ldots P_n$ un polígono convexo en el plano. Asumimos que para cualquier elección arbitraria de vértices $P_i,P_j$ existe un vértice en el polígono $P_k$ distinto de $P_i,P_j$ tal que $\angle P_iP_kP_j=60^{\circ}$ . Demuestre que $n=3$ .

Demuestre que para cualquier entero positivo $n$ y $k$ existen enteros positivos $a>b>c>d>e>k$ tales que \[n=\binom{a}{3}\pm\binom{b}{3}\pm\binom{c}{3}\pm\binom{d}{3}\pm\binom{e}{3}\]

Sea $n\ge 1$ un entero positivo y $x_1,x_2\ldots ,x_n$ números reales tales que $|x_{k+1}-x_k|\le 1$ para $k=1,2,\ldots ,n-1$ . Demuestre que \[\sum_{k=1}^n|x_k|-\left|\sum_{k=1}^nx_k\right|\le\frac{n^2-1}{4}\]

Sea $n\ge 2$ un entero positivo. Encuentre el número de funciones $f:\{1,2,\ldots ,n\}\rightarrow\{1,2,3,4,5 \}$ que tienen la siguiente propiedad: $|f(k+1)-f(k)|\ge 3$ , para cualquier $k=1,2,\ldots n-1$ .

Llamamos a un conjunto de enteros positivos adecuado si ninguno de sus elementos es coprimo con la suma de todos los elementos de ese conjunto. Dado un número real $\varepsilon \in (0,1)$ , demuestre que, para todos los enteros positivos $N$ suficientemente grandes, existe un conjunto adecuado de tamaño al menos $\varepsilon N$ , cada elemento del cual es a lo sumo $N$ .

Dado un entero positivo $N$ , determine todos los enteros positivos $n$ , que satisfacen la siguiente condición: para cualquier lista $d_1,d_2,\ldots,d_k$ de (no necesariamente distintos) divisores de $n$ tales que $\frac{1}{d_1} + \frac{1}{d_2} + \ldots + \frac{1}{d_k} > N$ , algunas de las fracciones $\frac{1}{d_1}, \frac{1}{d_2}, \ldots, \frac{1}{d_k}$ suman exactamente $N$ .

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo, sean $H$ y $O$ su ortocentro y circuncentro, respectivamente, y sean $S$ y $T$ los pies de las alturas desde $B$ a $AC$ y desde $C$ a $AB$ , respectivamente. Sea $M$ el punto medio del segmento $ST$ , y sea $N$ el punto medio del segmento $AH$ . La línea que pasa por $O$ , paralela a $BC$ , cruza los lados $AC$ y $AB$ en $F$ y $G$ , respectivamente. La línea $NG$ se encuentra con el círculo $BGO$ nuevamente en $K$ , y la línea $NF$ se encuentra con el círculo $CFO$ nuevamente en $L$ . Demuestre que los triángulos $BCM$ y $KLN$ son similares.

Sea $\Omega$ la circunferencia circunscrita de un triángulo $ABC$ con $\angle BAC > 90^{\circ}$ y $AB > AC$ . Las tangentes de $\Omega$ en $B$ y $C$ se cruzan en $D$ y la tangente de $\Omega$ en $A$ cruza la línea $BC$ en $E$ . La línea que pasa por $D$ , paralela a $AE$ , cruza la línea $BC$ en $F$ . El círculo con diámetro $EF$ se encuentra con la línea $AB$ en $P$ y $Q$ y la línea $AC$ en $X$ e $Y$ . Demuestre que uno de los ángulos $\angle AEB$ , $\angle PEQ$ , $\angle XEY$ es igual a la suma de los otros dos.

Sea $ABC$ un triángulo con incentro $I$ . La línea que pasa por $I$ , perpendicular a $AI$ , interseca la circunferencia circunscrita de $ABC$ en los puntos $P$ y $Q$ . Resulta que existe un punto $T$ en el lado $BC$ tal que $AB + BT = AC + CT$ y $AT^2 = AB \cdot AC$ . Determine todos los valores posibles de la razón $IP/IQ$ .

Sea $ABCD$ un paralelogramo. Una línea a través de $C$ cruza el lado $AB$ en un punto interior $X$ , y la línea $AD$ en $Y$ . Las tangentes del círculo $AXY$ en $X$ e $Y$ , respectivamente, se cruzan en $T$ . Demuestre que las circunferencias circunscritas de los triángulos $ABD$ y $TXY$ se intersecan en dos puntos, uno que se encuentra en la línea $AT$ y el otro que se encuentra en la línea $CT$ .