Considera el conjunto \n$$ \mathcal{S}=\{(a, b, c, d, e): 0<a<b<c<d<e<100\} $$\ndonde $a, b, c, d, e$ son enteros. Si $D$ es el valor promedio del cuarto elemento de dicha tupla en el conjunto, tomado sobre todos los elementos de $\mathcal{S}$, encuentra el entero más grande menor o igual a $D$.

Los seis lados de un hexágono convexo $A_1 A_2 A_3 A_4 A_5 A_6$ están coloreados de rojo. Cada una de las diagonales del hexágono está coloreada de rojo o azul. Si $N$ es el número de coloraciones tales que cada triángulo $A_i A_j A_k$, donde $1 \leq i<j<k \leq 6$, tiene al menos un lado rojo, encuentra la suma de los cuadrados de los dígitos de $N$.

Sea $A B C D$ un cuadrado unitario. Suponga que $M$ y $N$ son puntos en $B C$ y $C D$ respectivamente tales que el perímetro del triángulo $M C N$ es 2. Sea $O$ el circuncentro del triángulo $M A N$, y $P$ sea el circuncentro del triángulo $M O N$. Si $\left(\frac{O P}{O A}\right)^2=\frac{m}{n}$ para algunos enteros positivos relativamente primos $m$ y $n$, encuentra el valor de $m+n$.

Sea $A B C$ un triángulo en el plano $x y$, donde $B$ está en el origen $(0,0)$. Sea $B C$ producido a $D$ tal que $B C: C D=1: 1, C A$ sea producido a $E$ tal que $C A: A E=1: 2$ y $A B$ sea producido a $F$ tal que $A B: B F=1: 3$. Sea $G(32,24)$ el centroide del triángulo $A B C$ y $K$ sea el centroide del triángulo $D E F$. Encuentra la longitud $G K$.

Los ex-radios de un triángulo son $10\frac{1}{2}, 12$ y $14$. Si los lados del triángulo son las raíces de la cúbica $x^3-px^2+qx-r=0$, donde $p, q,r $ son enteros , encuentra el entero más cercano a $\sqrt{p+q+r}.$

Sea $P(x)=x^3+ax^2+bx+c$ un polinomio donde $a,b,c$ son enteros y $c$ es impar. Sea $p_{i}$ el valor de $P(x)$ en $x=i$. Dado que $p_{1}^3+p_{2}^{3}+p_{3}^{3}=3p_{1}p_{2}p_{3}$, encuentra el valor de $p_{2}+2p_{1}-3p_{0}.$

Un entero positivo $m$ tiene la propiedad de que $m^2$ es expresable en la forma $4n^2-5n+16$ donde $n$ es un entero (de cualquier signo). Encuentra el valor máximo de $|m-n|.$

La secuencia $\{a_{n}\}_{n \geqslant 0}$ está definida por $a_{0}=1, a_{1}=-4$ y $a_{n+2}=-4a_{n+1}-7a_{n}$, para $n \geqslant 0$. Encuentra el número de divisores enteros positivos de $a^2_{50}-a_{49}a_{51}$.

Encuentra el número de triples $(a, b, c)$ de enteros positivos tales que (a) $a b$ es un primo; (b) $b c$ es un producto de dos primos; (c) $a b c$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo y (d) $a b c \leq 30$.

Dado una baldosa de $2 \times 2$ y siete dominós (baldosa de $2 \times 1$), encuentra el número de formas de embaldosar (es decir, cubrir sin dejar huecos y sin superposición de dos baldosas) un rectángulo de $2 \times 7$ usando algunas de estas baldosas.