Se dice que una cuádrupleta $(a,b,c,d)$ de enteros distintos es $\textit{balanceada}$ si $a+c=b+d$. Sea $\mathcal{S}$ cualquier conjunto de cuádruples $(a,b,c,d)$ donde $1 \leqslant a<b<d<c \leqslant 20$ y donde la cardinalidad de $\mathcal{S}$ es $4411$. Encuentra el menor número de cuádruples balanceadas en $\mathcal{S}.$

En la tierra de Binary, la unidad de moneda se llama Ben y los billetes están disponibles en denominaciones $1,2,2^2,2^3,..$ Bens. Las reglas del Gobierno de Binary estipulan que uno no puede usar más de dos billetes de ninguna denominación en ninguna transacción. Por ejemplo, uno puede dar cambio por $2$ Bens de dos maneras: $2$ billetes de un Ben o $1$ billete de dos Ben. Para $5$ Ben uno puede dar $1$ billete de un Ben y $1$ billete de cuatro Ben o $1$ billete de Ben y $2$ billetes de dos Ben. Usar $5$ billetes de un Ben o $3$ billetes de un Ben y $1$ billete de dos Ben para una transacción de $5$ Ben está prohibido. Encuentra el número de formas en que uno puede dar un cambio de $100$ Bens siguiendo las reglas del Gobierno.

Encuentra el entero positivo más pequeño $n$ tal que haya al menos $1000$ pares no ordenados de diagonales en un polígono regular con $n$ vértices que se intersecan en un ángulo recto en el interior del polígono.

Un trapecio en el plano es un cuadrilátero en el que un par de lados opuestos son paralelos. Se dice que un trapecio es no degenerado si tiene un área positiva. Encuentra el número de trapecios mutuamente no congruentes y no degenerados cuyos lados son cuatro enteros distintos del conjunto $\{5,6,7,8,9,10\}$

En el plano coordenado, un punto se llama un $\text{punto reticular}$ si ambas coordenadas son enteros. Sea $A$ el punto $(12,84)$. Encuentra el número de triángulos rectángulos $ABC$ en el plano coordenado $B$ y $C$ son puntos reticulares, que tienen un ángulo recto en el vértice $A$ y cuyo incentro está en el origen $(0,0)$.

En un triángulo equilátero de lado 6, se colocan clavijas en los vértices y también uniformemente a lo largo de cada lado a una distancia de 1 entre sí. Se eligen cuatro clavijas distintas de las 15 clavijas interiores en los lados (es decir, las elegidas no son vértices del triángulo) y cada clavija se une al vértice opuesto respectivo mediante un segmento de línea. Si $N$ denota el número de formas en que podemos elegir las clavijas de modo que los segmentos de línea dibujados dividan el interior del triángulo en exactamente nueve regiones, encuentra la suma de los cuadrados de los dígitos de $N$.

Para $n \in \mathbb{N}$, considera funciones no negativas $f$ en $\{1,2, \cdots , n\}$ que satisfacen $f(i) \geqslant f(j)$ para $i>j$ y $\sum_{i=1}^{n} (i+ f(i))=2023.$ Elige $n$ tal que $\sum_{i=1}^{n} f(i)$ sea al menos. ¿Cuántas funciones existen en ese caso?

Para cualquier conjunto finito no vacío $X$ de enteros, sea $\max (X)$ denota el elemento más grande de $X$ y $|X|$ denota el número de elementos en $X$. Si $N$ es el número de pares ordenados $(A, B)$ de conjuntos finitos no vacíos de enteros positivos, tales que \n$$ \begin{aligned} & \max (A) \times|B|=12 ; \text { y } \\ & |A| \times \max (B)=11 \end{aligned} $$\ny $N$ se puede escribir como $100 a+b$ donde $a, b$ son enteros positivos menores que 100, encuentra $a+b$.

Para $n \in \mathbb{N}$, sea $P(n)$ denota el producto de los dígitos en $n$ y $S(n)$ denota la suma de los dígitos en $n$. Considera el conjunto $A=\{n \in \mathbb{N}: P(n)$ es no nulo, libre de cuadrados y $S(n)$ es un divisor propio de $P(n)\}$. Encuentra el número máximo posible de dígitos de los números en $A$.

Sea $\mathcal{P}$ un polígono convexo con $50$ vértices. Se dice que un conjunto $\mathcal{F}$ de diagonales de $\mathcal{P}$ es $\textit{mínimamente amigable}$ si cualquier diagonal $d \in \mathcal{F}$ interseca a lo sumo otra diagonal en $\mathcal{F}$ en un punto interior a $\mathcal{P}.$ Encuentra el mayor número posible de elementos en un conjunto $\textit{mínimamente amigable}$ $\mathcal{F}$.