Sean $k,n,p$ enteros positivos tales que $p$ es un número primo, $k < 1000$ y $\sqrt{k} = n\sqrt{p}$ . a) Demostrar que si la ecuación $\sqrt{k + 100x} = (n + x)\sqrt{p}$ tiene una solución entera no nula, entonces $p$ es un divisor de $10$ . b) Encontrar el número de todas las soluciones no negativas de la ecuación anterior.

Demuestre que todo número racional positivo puede ser representado en la forma $\dfrac{a^{3}+b^{3}}{c^{3}+d^{3}}$ donde a,b,c,d son enteros positivos.

Sean $P,Q$ dos polinomios mónicos con coeficientes complejos tales que $P(P(x))=Q(Q(x))$ para todo $x$ . Demuestre que $P=Q$ .

Sea $P_1$ un $n$ - gono regular, donde $n\in\mathbb{N}$ . Construimos $P_2$ como el $n$ - gono regular cuyos vértices son los puntos medios de los lados de $P_1$ . Continuando análogamente, obtenemos $n$ - gonos regulares $P_3,P_4,\ldots ,P_m$ . Para $m\ge n^2-n+1$ , encuentre el número máximo $k$ tal que para cualquier coloración de vértices de $P_1,\ldots ,P_m$ en $k$ colores existe un trapecio isósceles $ABCD$ cuyos vértices $A,B,C,D$ tienen el mismo color.

Sea $S$ el conjunto de puntos interiores de una esfera y $C$ el conjunto de puntos interiores de un círculo. Encuentre, con prueba, si existe una función $f:S\rightarrow C$ tal que $d(A,B)\le d(f(A),f(B))$ para cualquier par de puntos $A,B\in S$ donde $d(X,Y)$ denota la distancia entre los puntos $X$ e $Y$ .

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y $M$ el punto medio del lado $BC$ . Sea $N$ un punto en el interior del triángulo $ABC$ tal que $\angle NBA=\angle BAM$ y $\angle NCA=\angle CAM$ . Demuestre que $\angle NAB=\angle MAC$ .

Sea $a>1$ un entero positivo impar. Encuentre el menor entero positivo $n$ tal que $2^{2000}$ es un divisor de $a^n-1$ .

Determine todos los pares $(m,n)$ de enteros positivos tales que un rectángulo de $m\times n$ se puede teselar con L-trominoes.

Sea ABC un triángulo y $M$ un punto interior. Demuestre que \[ \min\{MA,MB,MC\}+MA+MB+MC<AB+AC+BC.\]

Demuestre que la ecuación $x^3+y^3+z^3=t^4$ tiene infinitas soluciones en enteros positivos tales que $\gcd(x,y,z,t)=1$ .