Sea $A$ un anillo. $a)$ Muestra que el conjunto $Z(A)=\{a\in A|ax=xa,\ \text{para todo}\ x\in A\}$ es un subanillo del anillo $A$ . $b)$ Prueba que, si cualquier subanillo conmutativo de $A$ es un campo, entonces $A$ es un campo.

Sea $f:[0,1]\rightarrow [0,1]$ una función continua y biyectiva. Describe el conjunto: \[A=\{f(x)-f(y)\mid x,y\in[0,1]\backslash\mathbb{Q}\}\] Nota Se te da el resultado de que no hay una función uno a uno entre los números irracionales y $\mathbb{Q}$ .

Sea $A\in M_4(C)$ una matriz no nula. $a)$ Si $\text{rank}(A)=r<4$ , prueba la existencia de dos matrices invertibles $U,V\in M_4(C)$ , tales que: \[UAV=\begin{pmatrix}I_r&0\0&0\end{pmatrix}\] donde $I_r$ es la matriz unidad de $r$ . $b)$ Muestra que si $A$ y $A^2$ tienen el mismo rango $k$ , entonces la matriz $A^n$ tiene rango $k$ , para cualquier $n\ge 3$ .

Sea $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ una función que tiene límites en cualquier punto y no tiene extremos locales. Muestra que: $a)$ $f$ es continua; $b)$ $f$ es estrictamente monótona.

En el plano cartesiano considera la hipérbola \[\Gamma=\{M(x,y)\in\mathbb{R}^2 \vert \frac{x^2}{4}-y^2=1\} \] y una cónica $\Gamma '$ , disjunta de $\Gamma$ . Sea $n(\Gamma ,\Gamma ')$ el número máximo de pares de puntos $(A,A')\in\Gamma\times\Gamma '$ tal que $AA'\le BB'$ , para cualquier $(B,B')$ Para cada $p\in\{0,1,2,4\}$ , encuentra la ecuación de $\Gamma'$ para la cual $n(\Gamma ,\Gamma ')=p$ . Justifica la respuesta.

Sea $I\subseteq \mathbb{R}$ un intervalo y $f:I\rightarrow\mathbb{R}$ una función tal que: \[|f(x)-f(y)|\le |x-y|,\quad\text{para todo}\ x,y\in I. \] Muestra que $f$ es monótona en $I$ si y sólo si, para cualquier $x,y\in I$ , o bien $f(x)\le f\left(\frac{x+y}{2}\right)\le f(y)$ o bien $f(y)\le f\left(\frac{x+y}{2}\right)\le f(x)$ .

Encuentra todos los números reales $a,b,c,d,e$ en el intervalo $[-2,2]$ , que satisfacen: \begin{align*}a+b+c+d+e &= 0\ a^3+b^3+c^3+d^3+e^3&= 0\ a^5+b^5+c^5+d^5+e^5&=10 \end{align*}

Encuentra todos los polinomios reales $f$ y $g$ , tales que: \[(x^2+x+1)\cdot f(x^2-x+1)=(x^2-x+1)\cdot g(x^2+x+1), \] para todo $x\in\mathbb{R}$ .

Sean $X,Y,Z,T$ cuatro puntos en el plano. Se dice que los segmentos $[XY]$ y $[ZT]$ están conectados, si existe algún punto $O$ en el plano tal que los triángulos $OXY$ y $OZT$ son rectángulos en $O$ e isósceles. Sea $ABCDEF$ un hexágono convexo tal que los pares de segmentos $[AB],[CE],$ y $[BD],[EF]$ están conectados. Muestra que los puntos $A,C,D$ y $F$ son los vértices de un paralelogramo y $[BC]$ y $[AE]$ están conectados.

Encuentra todas las funciones $f: \mathbb{N}\to\mathbb{N}$ que satisfacen la desigualdad: \[f(3x+2y)=f(x)f(y)\] para todos los enteros no negativos $x,y$ .