La figura a continuación muestra una pieza rota de una placa circular hecha de vidrio. $C$ es el punto medio de $AB$ , y $D$ es el punto medio del arco $AB$ . Dado que $AB = 24$ cm y $CD = 6$ cm, ¿cuál es el radio de la placa en centímetros? (La figura no está dibujada a escala.)

Sea $E(n)$ la suma de los dígitos pares de $n.$ Por ejemplo, $E(1243)=2+4=6.$ ¿Cuál es el valor de $E(1)+E(2)+E(3)+...+E(100) ?$

¿Cuántos enteros positivos $N$ de dos dígitos tienen la propiedad de que la suma de $N$ y el número obtenido al invertir el orden de los dígitos de $N$ es un cuadrado perfecto $?$

Sea $P(x)$ un polinomio no nulo con coeficientes enteros. Si $P(n)$ es divisible por $n$ para cada polinomio entero $n.$ ¿Cuál es el valor de $P(0) ?$

¿Cuántos segmentos de línea tienen ambos puntos finales ubicados en los vértices de un cubo dado?

Los enteros positivos $a$ y $b$ son tales que $a+b=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$. ¿Cuál es el valor de $a^2+b^2$?

Las ecuaciones $x^2-4x+k=0$ y $x^2+kx-4=0$, donde $k$ es un número real, tienen exactamente una raíz común. ¿Cuál es el valor de $k$?

Un hombre camina una cierta distancia y regresa en $3\frac{3}{4}$; podría viajar de ida y vuelta en $2\frac{1}{2}$ horas. ¿Cuántas horas le tomaría caminar de ida y vuelta?

Hallar el número de pares $(a,b)$ de números naturales tales que $b$ es un número de 3 dígitos, $a+1$ divide a $b-1$ y $b$ divide a $a^{2} + a + 2$ .

Enteros positivos $a, b, c$ satisfacen $\frac{ab}{a - b} = c .$ ¿Cuál es el mayor valor posible de $a+ b+ c$ que no excede $99$ ?