Sean $k$ y $n$ enteros positivos con $n>2$ . Muestra que la ecuación: \[x^n-y^n=2^k\] no tiene soluciones enteras positivas.

Sea $ABC$ un triángulo rectángulo donde $\measuredangle A = 90^\circ$ y $M\in (AB)$ tal que $\frac{AM}{MB}=3\sqrt{3}-4$ . Se sabe que el punto simétrico de $M$ con respecto a la recta $GI$ se encuentra en $AC$ . Encuentra la medida de $\measuredangle B$ .

Sea $ab+bc+ca=1$ . Muestra que \[\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\ge\sqrt{3}+\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}\]

El prisma recto $[A_1A_2A_3\ldots A_nA_1'A_2'A_3'\ldots A_n'],n\in\mathbb{N},n\ge 3$ , tiene un polígono convexo como su base. Se sabe que $A_1A_2'\perp A_2A_3',A_2A_3'\perp A_3A_4,$\ldots A_{n-1}A_n'\perp A_nA_1', A_nA_1'\perp A_1A_2'$ . Muestra que: $a)$ $n=3$ ; $b)$ el prisma es regular.

Sea $[ABCDEF]$ un tronco de una pirámide regular. Sean $G$ y $G'$ los centroides de las bases $ABC$ y $DEF$ respectivamente. Se sabe que $AB=36,DE=12$ y $GG'=35$ . $a)$ Prueba que los planos $(ABF),(BCD),(CAE)$ tienen un punto común $P$ , y los planos $(DEC),(EFA),(FDB)$ tienen un punto común $P'$ , ambos situados en $GG'$ . $b)$ Encuentra la longitud del segmento $[PP']$ .

Dados los números reales $a,c,d$ muestra que existe como máximo una función $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ que satisface: \[f(ax+c)+d\le x\le f(x+d)+c\quad\text{para cualquier}\ x\in\mathbb{R}\]

Para cualquier número $n\in\mathbb{N},n\ge 2$ , denotamos por $P(n)$ el número de pares $(a,b)$ cuyos elementos son enteros positivos tales que \[\frac{n}{a}\in (0,1),\quad \frac{a}{b}\in (1,2)\quad \text{y}\quad \frac{b}{n}\in (2,3). \] $a)$ Calcula $P(3)$ . $b)$ Encuentra $n$ tal que $P(n)=2002$ .

$a)$ Se da un triángulo equilátero de lados $a$ y se construye un triángulo $MNP$ bajo las siguientes condiciones: $P\in (AB),M\in (BC),N\in (AC)$ , tal que $MP\perp AB,NM\perp BC$ y $PN\perp AC$ . Encuentra la longitud del segmento $MP$ . $b)$ Muestra que para cualquier triángulo acutángulo $ABC$ se pueden encontrar puntos $P\in (AB),M\in (BC),N\in (AC)$ tales que $MP\perp AB,NM\perp BC$ y $PN\perp AC$ .

Sea $ABCD$ un trapecio y $AB$ y $CD$ sus lados paralelos. Encuentra, con prueba, el conjunto de puntos interiores $P$ del trapecio que tienen la propiedad de que $P$ pertenece al menos a dos rectas, cada una intersectando los segmentos $AB$ y $CD$ y cada una dividiendo el trapecio en otros dos trapecios con áreas iguales.

Demuestra que cualquier número real $0<x<1$ puede escribirse como una diferencia de dos números irracionales positivos y menores que $1$.