Un triángulo equilátero con lado $20$ se divide mediante series de líneas paralelas en $400$ triángulos equiláteros con lado $1$. ¿Qué número máximo de estos pequeños triángulos puede ser cruzado (internamente) por una línea?

Sea $\sigma(n)$ denota la suma de los divisores positivos de un número $n$. Se da un entero positivo $N=2^rb$, donde $r$ y $b$ son enteros positivos y $b$ es impar. Se sabe que $\sigma(N)=2N-1$. Demuestre que $b$ y $\sigma (b)$ son coprimos.

$BL$ es la bisectriz de un triángulo isósceles $ABC$. Se elige un punto $D$ en la base $BC$ y un punto $E$ se elige en el lado lateral $AB$ de modo que $AE=\frac {1}{2}AL=CD$. Demuestre que $LE=LD$.

Un triángulo rectángulo tiene todos sus lados números racionales y el área $S$. Demuestre que existe un triángulo rectángulo, diferente del original, tal que todos sus lados son números racionales y su área es $S$.

En un país, cada 2 ciudades están conectadas por una ruta directa de autobús o un vuelo directo. Una $clique$ es un conjunto de ciudades tal que cada 2 ciudades en el conjunto están conectadas por un vuelo directo. Una $cluque$ es un conjunto de ciudades tal que cada 2 ciudades en el conjunto están conectadas por un vuelo directo, y cada 2 ciudades en el conjunto están conectadas al mismo número de ciudades por una ruta de autobús. Una $claque$ es un conjunto de ciudades tal que cada 2 ciudades en el conjunto están conectadas por un vuelo directo, y cada 2 números de rutas de autobús desde una ciudad en el conjunto son diferentes. Demuestre que el número de ciudades de cualquier clique es como máximo el producto del mayor número posible de ciudades en una cluque y el mayor número posible de ciudades en una claque.

$ABCD$ es un cuadrilátero cíclico tal que las diagonales $AC$ y $BD$ son perpendiculares y su intersección es $P$. El punto $Q$ en el segmento $CP$ es tal que $CQ=AP$. Demuestre que el perímetro del triángulo $BDQ$ es al menos $2AC$.

Las funciones $f$ y $g$ se definen en el conjunto de todos los enteros en el intervalo $[-100; 100]$ y toman valores enteros. Demuestre que para algún entero $k$ el número de soluciones de la ecuación $f(x)-g(y)=k$ es impar.

Sea $K$ un campo que tiene $q=p^n$ elementos, donde $p$ es un primo y $n\ge 2$ es un número entero arbitrario. Para cualquier $a\in K$ , se define el polinomio $f_a=X^q-X+a$ . Muestra que: $a)$ $f=(X^q-X)^q-(X^q-X)$ es divisible por $f_1$ ; $b)$ $f_a$ tiene al menos $p^{n-1}$ factores irreducibles esencialmente diferentes en $K[X]$ .

Sea $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ una función continua y acotada tal que \[x\int_{x}^{x+1}f(t)\, \text{d}t=\int_{0}^{x}f(t)\, \text{d}t,\quad\text{para cualquier}\ x\in\mathbb{R}.\] Prueba que $f$ es una función constante.

Sea $f:[0,1]\rightarrow\mathbb{R}$ una función integrable tal que: \[0<\left\vert \int_{0}^{1}f(x)\, \text{d}x\right\vert\le 1.\] Muestra que existe $x_1\not= x_2, x_1,x_2\in [0,1]$ , tal que: \[\int_{x_1}^{x_2}f(x)\, \text{d}x=(x_1-x_2)^{2002}\]