Defina una secuencia $\{a_n\}_{n\geq 1}$ de números reales por \[a_1=2,\qquad a_{n+1} = \frac{a_n^2+1}{2}, \text{ para } n\geq 1.\] Demuestre que \[\sum_{j=1}^{N} \frac{1}{a_j + 1} < 1\] para cada número natural $N$ .

En un cuadrilátero cíclico $ABCD$ con circuncentro $O$ , las diagonales $AC$ y $BD$ se intersectan en $X$ . Sean las circunferencias circunscritas de los triángulos $AXD$ y $BXC$ que se intersectan en $Y$ . Sean las circunferencias circunscritas de los triángulos $AXB$ y $CXD$ que se intersectan en $Z$ . Si $O$ se encuentra dentro de $ABCD$ y si los puntos $O,X,Y,Z$ son todos distintos, demuestre que $O,X,Y,Z$ se encuentran en un círculo.

Suponga que $100$ puntos en el plano son coloreados usando dos colores, rojo y blanco tal que cada punto rojo es el centro de un círculo que pasa por al menos tres puntos blancos. ¿Cuál es el menor número posible de puntos blancos?

Muestre que existen infinitas tuplas $(a,b,c,d)$ de números naturales tales que $a^3 + b^4 + c^5 = d^7$ .

Encuentre el conjunto de todos los valores reales de $a$ para los cuales la ecuación polinómica real $P(x)=x^2-2ax+b=0$ tiene raíces reales, dado que $P(0)\cdot P(1)\cdot P(2)\neq 0$ y $P(0),P(1),P(2)$ forman una progresión geométrica.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y sea $D$ un punto interior del segmento $BC$ . Sea la circunferencia circunscrita de $ACD$ que intersecta a $AB$ en $E$ ( $E$ entre $A$ y $B$ ) y sea la circunferencia circunscrita de $ABD$ que intersecta a $AC$ en $F$ ( $F$ entre $A$ y $C$ ) . Sea $O$ el circuncentro de $AEF$ . Demuestre que $OD$ biseca a $\angle EDF$ .

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB<AC$ . Sea $I$ el incentro del triángulo $ABC$ , y sean $D,E,F$ los puntos donde la circunferencia inscrita toca los lados $BC,CA,AB,$ respectivamente. Sean $BI,CI$ que se encuentran con la línea $EF$ en $Y,X$ respectivamente. Además, asuma que tanto $X$ como $Y$ están fuera del triángulo $ABC$ . Demuestre que $\text{(i)}$ $B,C,Y,X$ son concíclicos. $\text{(ii)}$ $I$ es también el incentro del triángulo $DYX$ .

Encuentre todos los números naturales $n$ tales que $1+[\sqrt{2n}]~$ divide a $2n$ . ( Para cualquier número real $x$ , $[x]$ denota el entero más grande que no excede a $x$ . )

Sea $E$ denote el conjunto de $25$ puntos $(m,n)$ en el plano $\text{xy}$ , donde $m,n$ son números naturales, $1\leq m\leq5,1\leq n\leq5$ . Suponga que los puntos de $E$ son coloreados arbitrariamente usando dos colores, rojo y azul. Muestre que siempre existen cuatro puntos en el conjunto $E$ de la forma $(a,b),(a+k,b),(a+k,b+k),(a,b+k)$ para algún entero positivo $k$ tal que al menos tres de estos cuatro puntos tienen el mismo color. (Es decir, siempre existen cuatro puntos en el conjunto $E$ que forman los vértices de un cuadrado con lados paralelos a los ejes y teniendo al menos tres puntos del mismo color.)

Para un número racional $r$ , su *periodo* es la longitud del bloque repetido más pequeño en su expansión decimal. Por ejemplo, el número $r=0.123123123...$ tiene periodo $3$ . Si $S$ denota el conjunto de todos los números racionales de la forma $r=\overline{abcdefgh}$ que tienen periodo $8$ , encuentre la suma de todos los elementos en $S$ .