Demostrar que para $a, b, c \in [0;1]$ , $$(1-a)(1+ab)(1+ac)(1-abc) \leq (1+a)(1-ab)(1-ac)(1+abc).$$

Se dan dos puntos $A$ y $B$ en el plano. Un punto $X$ se llama su punto medio absurdo si existe un sistema de coordenadas cartesianas en el plano tal que las coordenadas de $A$ y $B$ en este sistema son no negativas, la abscisa de $X$ es la media geométrica de las abscisas de $A$ y $B$, y la ordenada de $X$ es la media geométrica de las ordenadas de $A$ y $B$. Encuentre el lugar geométrico de todos los puntos medios absurdos de $A$ y $B$.

Un punto $E$ se encuentra en la extensión del lado $AD$ del rectángulo $ABCD$ sobre $D$. El rayo $EC$ se encuentra con la circunferencia circunscrita $\omega$ de $ABE$ en el punto $F\ne E$. Los rayos $DC$ y $AF$ se encuentran en $P$. $H$ es el pie de la perpendicular trazada desde $C$ a la línea $\ell$ que pasa por $E$ y es paralela a $AF$. Demuestre que la línea $PH$ es tangente a $\omega$.

Sea $\sigma(n)$ denota la suma de los divisores positivos de un número $n$. Se da un entero positivo $N=2^r b$, donde $r$ y $b$ son enteros positivos y $b$ es impar. Se sabe que $\sigma(N)=2N-1$. Demuestre que $b$ y $\sigma(b)$ son coprimos.

¿Existe un trinomio cuadrático $f(x)$ tal que $f(1/2017)=1/2018$, $f(1/2018)=1/2017$, y dos de sus coeficientes son enteros?

Hay 25 máscaras de diferentes colores. k sabios juegan el siguiente juego. Se les muestran todas las máscaras. Entonces los sabios acuerdan su estrategia. Después de eso, las máscaras se les ponen de modo que cada sabio ve las máscaras en los demás, pero no puede ver quién lleva cada máscara y no ve su propia máscara. No se permite la comunicación. Entonces cada uno de ellos nombra simultáneamente un color tratando de adivinar el color de su máscara. Encuentre el mínimo k para el cual los sabios pueden ponerse de acuerdo para que al menos uno de ellos seguramente adivine el color de su máscara.

Un triángulo rectángulo tiene todos sus lados números racionales y el área $S$. Demuestre que existe un triángulo rectángulo, diferente del original, tal que todos sus lados son números racionales y su área es $S$.

$ABCD$ es un cuadrilátero cíclico tal que las diagonales $AC$ y $BD$ son perpendiculares y su intersección es $P$. El punto $Q$ en el segmento $CP$ es tal que $CQ=AP$. Demuestre que el perímetro del triángulo $BDQ$ es al menos $2AC$.

Las funciones $f$ y $g$ se definen en el conjunto de todos los enteros en el intervalo $[-100; 100]$ y toman valores enteros. Demuestre que para algún entero $k$ el número de soluciones de la ecuación $f(x)-g(y)=k$ es impar.

Consideramos el grafo con vértices $A_1,A_2,\dots A_{2015}$, $B_1,B_2,\dots B_{2015}$ y aristas $A_iA _{i+1}, A_iB_i, B_iB_{i+17}$, tomados cíclicamente. ¿Es cierto que 4 policías pueden atrapar a un ladrón en este grafo para cada posición inicial? (Primero los 4 policías hacen un movimiento, luego el ladrón hace un movimiento, luego los policías hacen un movimiento, etc. Un movimiento consiste en saltar desde el vértice en el que te quedas a un vértice adyacente o quedarte en tu vértice actual. Todos conocen la posición de todos en todo momento. Los policías pueden coordinar sus movimientos. El ladrón es atrapado cuando comparte el mismo vértice con un policía.)