La suma de los cuadrados de cinco números reales $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5$ es igual a $1$ . Demostrar que el menor de los números $(a_i - a_j)^2$ , donde $i, j = 1, 2, 3, 4,5$ y $i \neq j$ , no excede $\frac{1}{10}.$

Sea $P(x)$ un polinomio con coeficientes enteros. Denotamos $\deg(P)$ su grado que es $\geq 1.$ Sea $n(P)$ el número de todos los enteros $k$ para los cuales tenemos $(P(k))^{2}=1.$ Demuestre que $n(P)- \deg(P) \leq 2.$

Demostrar que los cuadrados con lados $\frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \frac{1}{3},\ldots$ se pueden colocar en el cuadrado con lado $\frac{3}{2} $ de tal manera que no haya dos de ellos que tengan ningún punto interior en común.

Tres jugadores $A,B$ y $C$ juegan un juego con tres cartas y en cada una de estas $3$ cartas está escrito un entero positivo, los $3$ números son diferentes. Un juego consiste en mezclar las cartas, darle a cada jugador una carta y a cada jugador se le atribuye un número de puntos igual al número escrito en la carta y luego devuelven las cartas. Después de un número $(\geq 2)$ de juegos descubrimos que A tiene $20$ puntos, $B$ tiene $10$ puntos y $C$ tiene $9$ puntos. También sabemos que en el último juego B tenía la carta con el número más grande. ¿Quién tenía en el primer juego la carta con el segundo valor (esto significa la carta del medio con respecto a su valor)?

Varias servilletas rectangulares azules y verdes (tal vez de diferentes tamaños) con lados verticales y horizontales se colocaron en el plano. Resultó que cualquier dos servilletas de diferentes colores pueden ser cruzadas por una línea vertical u horizontal (tal vez a lo largo de la frontera). Demuestre que es posible elegir un color, dos líneas horizontales y una línea vertical, de modo que cada servilleta del color elegido sea intersectada por al menos una de las líneas elegidas.

Llamamos a un entero positivo $n$ $bueno$ , si existen enteros $a,b,c,x,y$ tales que $n=ax^2+bxy+cy^2$ y $b^2-4ac=-20$ . Demuestre que el producto de dos números buenos es también un número bueno.

La suma de $n > 2$ números reales no nulos (no necesariamente distintos) es igual a cero. Para cada una de las $2^n - 1$ formas de elegir uno o más de estos números, sus sumas se escriben en orden no creciente en una fila. El primer número en la fila es $S$ . Encuentre el valor más pequeño posible del segundo número.

Sean $a_1, a_2, \cdots, a_k$ números naturales. Sea $S(n)$ el número de soluciones en enteros no negativos a $a_1x_1 + a_2x_2 + \cdots + a_kx_k = n$ . Suponga que $S(n) \neq 0$ para todo $n$ suficientemente grande. Demuestre que para todo $n$ suficientemente grande, tenemos $S(n+1) < 2S(n)$ .

La tangente en $C$ a $\Omega$ , la circunferencia circunscrita del triángulo escaleno $ABC$ interseca a $AB$ en $D$ . A través del punto $D$ , se dibuja una línea que interseca los segmentos $AC$ y $BC$ en $K$ y $L$ respectivamente. En el segmento $AB$ se marcan los puntos $M$ y $N$ tales que $AC \parallel NL$ y $BC \parallel KM$ . Las líneas $NL$ y $KM$ se intersecan en el punto $P$ que se encuentra dentro del triángulo $ABC$ . Sea $\omega$ la circunferencia circunscrita de $MNP$ . Suponga que $CP$ interseca a $\omega$ nuevamente en $Q$ . Demuestre que $DQ$ es tangente a $\omega$ .

Pedro tiene una baraja de $1001$ cartas, y con un bolígrafo azul ha escrito los números $1,2,\ldots,1001$ en las cartas (un número en cada carta). Reemplazó las cartas en un círculo de modo que los números azules estuvieran en la parte inferior de la carta. Luego, para cada carta $C$ , tomó $500$ cartas consecutivas siguiendo a $C$ (en sentido horario), y denotó por $f(C)$ el número de números azules escritos en esas $500$ cartas que son mayores que el número azul escrito en la propia $C$. Después de todo, escribió este número $f(C)$ en la parte superior de la carta $C$ con un bolígrafo rojo. Demuestre que el amigo de Peter, Basil, que ve todos los números rojos en estas cartas, puede determinar el número azul en cada carta.