Hay $2000$ ciudades en el país, cada una de las cuales tiene exactamente tres carreteras a otras ciudades. Demuestre que puede cerrar $1000$ carreteras, de modo que no haya una sola ruta cerrada en el país, que conste de un número impar de carreteras.

Cada dos de cinco pentágonos regulares en el plano tienen un punto en común. ¿Es cierto que algunos de estos pentágonos tienen un punto en común?

Sea $O$ el centro del círculo circunscrito alrededor del triángulo $ABC$. Los centros de los círculos circunscritos alrededor de los cuadrados $OAB,OBC,OCA$ se encuentran en los vértices de un triángulo regular. Demuestre que el triángulo $ABC$ es rectángulo.

¿Existen primos $p$ y $q$ mayores que $3$ , tales que $p^2-1$ es divisible por $q$ y $q^2-1$ dividido por $p$ ?

Demuestre que si el producto de los números positivos $a,b$ y $c$ es igual a uno, entonces $\frac{1}{a(a+1)}+\frac{1}{b(b+1)}+\frac{1}{c(c+1)}\ge \frac{3}{2}$

Una tangente $l$ al círculo inscrito en un rombo se encuentra con sus lados $AB$ y $BC$ en los puntos $E$ y $F$ respectivamente. Demuestre que el producto $AE\cdot CF$ es independiente de la elección de $l$.

¿Es posible pintar el plano en $4$ colores de manera que dentro de cualquier círculo estén los puntos de los cuatro colores?

Dado el número $188188...188$ (el número $188$ está escrito $101$ veces). Algunos dígitos de este número están tachados. ¿Cuál es el múltiplo más grande de $7$ que podría ocurrir?

Demuestre que ningún número de la forma $10^{-n}$ , $n\geq 1,$ puede ser representado como la suma de recíprocos de factoriales de diferentes enteros positivos.

El polinomio $ P(t)$ es tal que para todo $ x$ real, \[ P(\sin x) + P(\cos x) = 1. \] ¿Cuál puede ser el grado de este polinomio?