Sea $ABC$ un triángulo en el que $\angle A = 60^\circ$. Sean $BE$ y $CF$ las bisectrices de $\angle B$ y $\angle C$ con $E$ en $AC$ y $F$ en $AB$. Sea $M$ la reflexión de $A$ en la línea $EF$. Demuestre que $M$ está en $BC$.

Encuentre tres enteros positivos distintos con la menor suma posible tal que la suma de los recíprocos de dos enteros cualesquiera entre ellos es un múltiplo entero del recíproco del tercer entero.

Encuentre el número de números de $4$ dígitos (en base $10$) que tienen dígitos distintos de cero y que son divisibles por $4$ pero no por $8$.

Sean $P_1(x) = ax^2 - bx - c$, $P_2(x) = bx^2 - cx - a$, $P_3(x) = cx^2 - ax - b$ tres polinomios cuadráticos. Suponga que existe un número real $\alpha$ tal que $P_1(\alpha) = P_2(\alpha) = P_3(\alpha)$. Demuestre que $a = b = c$.

Sea $ABCDEF$ un hexágono convexo en el que las diagonales $AD, BE, CF$ concurren en $O$. Suponga que $[OAF]$ es la media geométrica de $[OAB]$ y $[OEF]$ y $[OBC]$ es la media geométrica de $[OAB]$ y $[OCD]$. Demuestre que $[OED]$ es la media geométrica de $[OCD]$ y $[OEF]$. (Aquí $[XYZ]$ denota el área del $\triangle XYZ$)

Sean $A_1,A_2,\ldots,A_n$ subconjuntos de un conjunto finito $S$ tales que $|A_j|=8$ para cada $j$. Para un subconjunto $B$ de $S$ sea $F(B)=\{j \mid 1\le j\le n \ \ \text{y} \ A_j \subset B\}$. Supongamos que para cada subconjunto $B$ de $S$ al menos una de las siguientes condiciones se cumple \n(a) $|B| > 25$ , \n(b) $F(B)=\{\O\}$ , \n(c) $\bigcap_{j\in F(B)} A_j \neq {\O}$ . \nDemuestra que $A_1\cap A_2 \cap \cdots \cap A_n \neq {\O}$.

Sea $u_{jk}$ un número real para cada $j=1,2,3$ y cada $k=1,2$ y sea $N$ un entero tal que \n\[\max_{1\le k \le 2} \sum_{j=1}^3 |u_{jk}| \leq N\] \nSean $M$ y $l$ enteros positivos tales que $l^2 <(M+1)^3$. Demuestra que existen enteros $\xi_1,\xi_2,\xi_3$ no todos cero, tales que \n\[\max_{1\le j \le 3}\xi_j \le M\ \ \ \text{y} \ \ \ \left|\sum_{j=1}^3 u_{jk}\xi_k\right| \le \frac{MN}{l} \ \ \ \text{para k=1,2}\]

Encuentra todas las ternas $(a,b,c)$ tales que $a,b,c$ son enteros en el conjunto $\{2000,2001,\ldots,3000\}$ satisfaciendo $a^2+b^2=c^2$ y $\text{gcd}(a,b,c)=1$.

Sean $A_1,A_2,\cdots , A_n$ progresiones aritméticas de enteros, cada una de $k$ términos, tales que dos cualesquiera de estas progresiones aritméticas tienen al menos dos elementos comunes. Supongamos que $b$ de estas progresiones aritméticas tienen diferencia común $d_1$ y las progresiones aritméticas restantes tienen diferencia común $d_2$ donde $0<b<n$. Demuestra que \n\[b \le 2\left(k-\frac{d_2}{gcd(d_1,d_2)}\right)-1.\]

Los divisores positivos $d_1,d_2,\cdots,d_k$ de un entero positivo $n$ están ordenados \n\[1=d_1<d_2<\cdots<d_k=n\] \nSupongamos que $d_7^2+d_{15}^2=d_{16}^2$. Encuentra todos los valores posibles de $d_{17}$.