Prueba que: (a) $ 5<\sqrt {5}+\sqrt [3]{5}+\sqrt [4]{5}$ (b) $ 8>\sqrt {8}+\sqrt [3]{8}+\sqrt [4]{8}$ (c) $ n>\sqrt {n}+\sqrt [3]{n}+\sqrt [4]{n}$ para todos los enteros $ n\geq 9 .$

Un trapecio $ ABCD$ , en el que $ AB$ es paralelo a $ CD$ , está inscrito en un círculo con centro $ O$ . Suponga que las diagonales $ AC$ y $ BD$ del trapecio se intersecan en $ M$ , y $ OM = 2$ . (a) Si $ \angle AMB$ es $ 60^\circ ,$ encuentre, con prueba, la diferencia entre las longitudes de los lados paralelos. (b) Si $ \angle AMD$ es $ 60^\circ ,$ encuentre, con prueba, la diferencia entre las longitudes de los lados paralelos.

¿Cuántos números de 6 dígitos hay tales que-: \na) Los dígitos de cada número son todos del conjunto $ \{1,2,3,4,5\}$ \nb) cualquier dígito que aparezca en el número aparece al menos dos veces? (Ejemplo: $ 225252$ es válido mientras que $ 222133$ no lo es)

Encuentre todos los pares $ (a, b)$ de números reales tales que siempre que $ \alpha$ sea una raíz de $ x^{2} + ax + b = 0$ , $ \alpha^{2} - 2$ también es una raíz de la ecuación.

Sean $ a, b, c$ tres números naturales tales que $ a < b < c$ y $ gcd (c - a, c - b) = 1$ . Suponga que existe un entero $ d$ tal que $ a + d, b + d, c + d$ forman los lados de un triángulo rectángulo. Pruebe que existen enteros, $ l,m$ tales que $ c + d = l^{2} + m^{2} .$

Sea $ ABC$ un triángulo acutángulo; $ AD$ la bisectriz de $ \angle BAC$ con $ D$ en $ BC$ ; y $ BE$ la altura desde $ B$ sobre $ AC$ . Demuestra que $ \angle CED > 45^\circ .$

Considere todos los números de $7$ dígitos formados por los dígitos $1,2 , 3,...,7$ y cada dígito se usa exactamente una vez en todos los $7!$ números. Demuestre que no hay dos de ellos que tengan la propiedad de que uno divide al otro.

Sea $P$ un punto interior del triángulo $ABC$ tal que $\angle BPC = \angle CPA =\angle APB = 120^o$. Demuestre que las líneas de Euler de los triángulos $APB,BPC,CPA$ son concurrentes.

Sean $A_1,A_2,...,A_n$ $n$ subconjuntos finitos de un conjunto $X, n \ge 2$, tales que (i) $|A_i| \ge 2, 1 \le i \le n$, (ii) $ |A_i \cap A_j | \ne 1, j \le i < j \le n$. Demuestre que los elementos de $A_1 \cup A_2 \cup ... \cup A_n$ pueden colorearse con $2$ colores de modo que ningún $A_i$ esté coloreado por el mismo color.

Sean $a$ y $b$ dos números reales positivos tales que $a^{2007} = a + 1$ y $b^{4014} = b + 3a$. Determine si $a > b$ o $b > a$.