Dado un triángulo rectángulo $ABC$ con la hipotenusa $AB$. Sea $K$ cualquier punto interior del triángulo $ABC$ y los puntos $L, M$ son simétricos del punto $K$ con respecto a las líneas $BC, AC$ respectivamente. Especifica todos los valores posibles para $S_{ABLM} / S_{ABC}$, donde $S_{XY ... Z}$ indica el área del polígono $XY...Z$.

Para los números naturales $a, b, c$ se cumple que $(a + b + c)^2 | ab (a + b) + bc (b + c) + ca(c + a) + 3abc$. Demuestra que $(a + b + c) |(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2$

Se da un triángulo acutángulo $ABC$ en el que $AB < AC$. El punto $E$ se encuentra en el lado $AC$ del triángulo, con $AB = AE$. El segmento $AD$ es el diámetro de la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$, y el punto $S$ es el centro de este arco $BC$ de este círculo al que no pertenece el punto $A$. El punto $F$ es simétrico del punto $D$ con respecto a $S$. Demuestra que las líneas $F E$ y $AC$ son perpendiculares.

Determina el entero positivo más pequeño $A$ con un número impar de dígitos y la propiedad de que tanto $A$ como el número $B$ creado al eliminar el dígito central del número $A$ son divisibles por $2018$.

La maestra le dio a cada uno de sus $37$ estudiantes $36$ lápices de diferentes colores. Resultó que cada par de estudiantes recibió exactamente un lápiz del mismo color. Determina el menor número posible de diferentes colores de lápices distribuidos.

Se da un hexágono convexo $ABCDEF$ cuyos lados $AB$ y $DE$ son paralelos. Cada una de las diagonales $AD, BE, CF$ divide este hexágono en dos cuadriláteros de perímetros iguales. Demuestra que estas tres diagonales se intersecan en un punto.

Para cada tres números reales positivos $x, y, z$, ¿existen cuatro números reales $a, b, c, d$ con la propiedad $ad + bc = x$, $ac + bd = y$, $ab + cd = z$ y uno de los números $a, b, c, d$ es igual a la suma de los otros tres?

Un grafo $G$ tiene $n$ vértices ($n>1$). Para cada arista $e$ sea $c(e)$ el número de vértices del subgrafo completo más grande que contiene a $e$. Demuestra que la desigualdad (la suma es sobre todas las aristas de $G$):\n\[\sum_{e} \frac{c(e)}{c(e)-1}\le \frac{n^2}{2}.\]

Se dan dos polinomios $f$ y $g$ de grado $100$ con coeficientes reales. Para cada entero positivo $n$ existe un entero $k$ tal que\n\[\frac{f(k)}{g(k)}=\frac{n+1}{n}.\]\nDemuestra que $f$ y $g$ tienen un factor común no constante.

Se da el triángulo $ABC$. En el arco $BC$ de su círculo circunscrito, que no contiene el punto $A$, se selecciona el punto variable $X$, y en los rayos $XB$ y $XC$, los puntos variables $Y$ y $Z$, respectivamente, de modo que $XA = XY = XZ$. Demuestra que la línea $YZ$ pasa por un punto fijo.