¿Existen enteros $m$ y $n$ tales que \[5m^2 - 6mn + 7n^2 = 1985 \ ?\]

Sea $ABCD$ un rectángulo, $AB = a, BC = b$. Considere la familia de líneas rectas paralelas y equidistantes (la distancia entre dos líneas consecutivas es $d$) que están en un ángulo $\phi, 0 \leq \phi \leq 90^{\circ},$ con respecto a $AB$. Sea $L$ la suma de las longitudes de todos los segmentos que intersecan el rectángulo. Encuentre: (a) cómo varía $L$, (b) una condición necesaria y suficiente para que $L$ sea una constante, y (c) el valor de esta constante.

Encuentre todas las ternas de enteros positivos $x, y, z$ que satisfacen \[\frac{1}{x} +\frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{4}{5} .\]

Sean $A_1A_2,B_1B_2, C_1C_2$ tres segmentos iguales en los tres lados de un triángulo equilátero. Demuestre que en el triángulo formado por las líneas $B_2C_1, C_2A_1,A_2B_1$, los segmentos $B_2C_1, C_2A_1,A_2B_1$ son proporcionales a los lados en los que están contenidos.

Construya un triángulo $ABC$ dados el lado $AB$ y la distancia $OH$ desde el circuncentro $O$ al ortocentro $H$, asumiendo que $OH$ y $AB$ son paralelos.

Para cada entero $r > 1$, encuentre el entero más pequeño $h(r) > 1$ que tenga la siguiente propiedad: Para cualquier partición del conjunto $\{1, 2, . . ., h(r)\}$ en $r$ clases, existen enteros $a \geq 0, 1 \leq x \leq y$ tales que los números $a + x, a + y, a + x + y$ están contenidos en la misma clase de la partición.

Sea $C$ una clase de funciones $f : \mathbb N \to \mathbb N$ que contiene las funciones $S(x) = x + 1$ y $E(x) = x - [\sqrt x]^2$ para cada $x \in \mathbb N$. ( $[x]$ es la parte entera de $x$. ) Si $C$ tiene la propiedad de que para cada $f, g \in C, f + g, fg, f \circ g \in C$, demuestre que la función $\max(f(x) - g(x), 0)$ está en $C$, para todas $f; g \in C$.

Sean $A$ y $B$ dos conjuntos finitos disjuntos de puntos en el plano tales que no hay tres puntos distintos en $A \cup B$ que sean colineales. Asuma que al menos uno de los conjuntos $A, B$ contiene al menos cinco puntos. Demuestre que existe un triángulo todos cuyos vértices están contenidos en $A$ o en $B$ que no contiene en su interior ningún punto del otro conjunto.

Demuestre que la secuencia $\{a_n\}_{n\geq1}$ definida por $a_n = [n \sqrt 2]$ contiene un número infinito de potencias enteras de $2$. ( $[x]$ es la parte entera de $x$. )

Sean $k \geq 2$ y $n_1, n_2, . . . , n_k \geq 1$ números naturales que tienen la propiedad $n_2 | 2^{n_1} - 1, n_3 | 2^{n_2} -1 , \cdots, n_k | 2^{n_{k-1}}-1$, y $n_1 | 2^{n_k} - 1$. Demuestre que $n_1 = n_2 = \cdots = n_k = 1$.