Demostrar que en cualquier triángulo $ABC$ , \[ 0 < \cot { \left( \frac{A}{4} \right)} - \tan{ \left( \frac{B}{4} \right) } - \tan{ \left( \frac{C}{4} \right) } - 1 < 2 \cot { \left( \frac{A}{2} \right) }. \]

Demuestra que existe un hexágono convexo en el plano tal que (i) todos sus ángulos interiores son iguales; (ii) sus lados son $1,2,3,4,5,6$ en algún orden.

Sea $f$ una función biyectiva de $A = \{ 1, 2, \ldots, n \}$ a sí misma. Demuestra que existe un entero positivo $M$ tal que $f^{M}(i) = f(i)$ para cada $i$ en $A$ , donde $f^{M}$ denota la composición $f \circ f \circ \cdots \circ f$ $M$ veces.

Sea $A = \{ 1,2, 3 , \ldots, 100 \}$ y $B$ un subconjunto de $A$ que tiene $53$ elementos. Demuestra que $B$ tiene 2 elementos distintos $x$ e $y$ cuya suma es divisible por $11$.

Sea $ABC$ un triángulo rectángulo en $A$ y $S$ su circunferencia circunscrita. Sea $S_1$ la circunferencia que toca las líneas $AB$ y $AC$ , y la circunferencia $S$ internamente. Además, sea $S_2$ la circunferencia que toca las líneas $AB$ y $AC$ y la circunferencia $S$ externamente. Si $r_1, r_2$ son los radios de $S_1, S_2$ prueba que $r_1 \cdot r_2 = 4 A[ABC]$ .

Demuestra que existe un número natural $n$ tal que $n!$ cuando se escribe en notación decimal termina exactamente en 1993 ceros.

Sea $ABC$ un triángulo en un plano $\pi$. Encuentra el conjunto de todos los puntos $P$ (distintos de $A,B,C$) en el plano $\pi$ tales que las circunferencias circunscritas de los triángulos $ABP$ , $BCP$ , $CAP$ tienen el mismo radio.

Si $a,b,c,d \in \mathbb{R}_{+}$ y $a+b +c +d =1$, demuestra que \[ ab +bc +cd \leq \dfrac{1}{4}. \]

Sea $p(x) = x^2 +ax +b$ un polinomio cuadrático con $a,b \in \mathbb{Z}$. Dado cualquier entero $n$, demuestra que existe un entero $M$ tal que $p(n) p(n+1) = p(M)$.

Las diagonales $AC$ y $BD$ de un cuadrilátero cíclico $ABCD$ se intersecan en $P$. Sea $O$ el circuncentro del triángulo $APB$ y $H$ el ortocentro del triángulo $CPD$. Demuestra que los puntos $H,P,O$ son colineales.