Sea $ABC$ un triángulo e $I$ su incentro. Sean $\varrho_1$ y $\varrho_2$ los inradii de los triángulos $IAB$ e $IAC$ respectivamente. (a) Demostrar que existe una función $f: ( 0, \pi ) \mapsto \mathbb{R}$ tal que \[ \frac{ \varrho_1}{ \varrho_2} = \frac{f(C)}{f(B)} \] donde $B = \angle ABC$ y $C = \angle BCA$ (b) Demostrar que \[ 2 ( \sqrt{2} -1 ) < \frac{ \varrho_1} { \varrho_2} < \frac{ 1 + \sqrt{2}}{2} \]

Determinar todas las funciones $f : \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ tales que \[ f(x+y) = f(x)f(y) - c \sin{x} \sin{y} \] para todos los reales $x,y$ donde $c> 1$ es una constante dada.

Demostrar que las únicas soluciones de la ecuación \[ p^{k} + 1 = q^{m} \] , en enteros positivos $k,q,m > 1$ y primo $p$ son (i) $(p,k,q,m) = (2,3,3,2)$ (ii) $k=1 , q=2,$ y $p$ es un primo de la forma $2^{m} -1$ , $m > 1 \in \mathbb{N}$

Sea $ABC$ un triángulo y sea $P$ un punto en su interior. Denotemos por $D$ , $E$ , $F$ los pies de las perpendiculares desde $P$ a las líneas $BC$ , $CA$ , $AB$ , respectivamente. Supongamos que \[AP^2 + PD^2 = BP^2 + PE^2 = CP^2 + PF^2.\] Denotemos por $I_A$ , $I_B$ , $I_C$ los excentros del triángulo $ABC$ . Demostrar que $P$ es el circuncentro del triángulo $I_AI_BI_C$ .

El juego de los $pebbles$ se juega en un tablero infinito de puntos de la retícula $(i,j)$ . Inicialmente hay un $pebble$ en $(0,0)$ . Un movimiento consiste en quitar un $pebble$ del punto $(i,j)$ y colocar un $pebble$ en cada uno de los puntos $(i+1,j)$ y $(i,j+1)$ siempre que ambos estén vacantes. Demostrar que en cualquier etapa del juego hay un $pebble$ en algún punto de la retícula $(a,b)$ con $0 \leq a+b \leq 3$

Determinar todos los enteros $a$ tales que $a^k + 1$ es divisible por $12321$ para algún $k$

Un conjunto $A_1 , A_2 , A_3 , A_4$ de 4 puntos en el plano se dice que es un conjunto ateniense si hay un punto $P$ del plano que satisface (*) $P$ no está en ninguna de las líneas $A_i A_j$ para $1 \leq i < j \leq 4$ ; (**) la línea que une $P$ con el punto medio de la línea $A_i A_j$ es perpendicular a la línea que une $P$ con el punto medio de $A_k A_l$ , $i,j,k,l$ siendo distintos.\n(a) Encontrar todos los conjuntos atenienses en el plano.\n(b) Para un conjunto ateniense dado, encontrar el conjunto de todos los puntos $P$ en el plano que satisfacen (*) y (**)

Sea $f$ una biyección del conjunto de todos los números naturales en sí mismo. Demostrar que existen enteros positivos $a < a+d < a+ 2d$ tales que $f(a) < f(a+d) <f(a+2d)$

Supongamos que el polinomio $P(x) \equiv x^3 + ax^2 + bx +c$ tiene sólo ceros reales y sea $Q(x) \equiv 5x^2 - 16x + 2004$ . Asumir que $P(Q(x)) = 0$ no tiene raíces reales. Demostrar que $P(2004) > 2004$

Encontrar todas las ternas $(x,y,n)$ de enteros positivos tales que \[ (x+y)(1+xy) = 2^{n} \]