Sea $l$ la longitud de la diagonal más pequeña de todos los rectángulos inscritos en un triángulo $T$. (Por inscrito, queremos decir que los cuatro vértices del rectángulo se encuentran en el borde de $T$.) Determine el valor máximo de $\frac{l^2}{S(T)}$ tomado sobre todos los triángulos ( $S(T)$ denota el área del triángulo $T$).

Sea $CD$ un diámetro del círculo $K$. Sea $AB$ una cuerda paralela a $CD$. El segmento de línea $AE$, con $E$ en $K$, es paralelo a $CB$; $F$ es el punto de intersección de los segmentos de línea $AB$ y $DE$. El segmento de línea $FG$, con $G$ en $DC$, extendido es paralelo a $CB$. ¿Es $GA$ tangente a $K$ en el punto $A \?$

Sea $A$ un conjunto de $n$ puntos en el espacio. De la familia de todos los segmentos con puntos finales en $A$, se han seleccionado $q$ segmentos y se han coloreado de amarillo. Suponga que todos los segmentos amarillos tienen diferente longitud. Demuestre que existe una línea poligonal compuesta de $m$ segmentos amarillos, donde $m \geq \frac{2q}{n}$, dispuestos en orden de longitud creciente.

Sea $\Gamma_i, i = 0, 1, 2, \dots$, un círculo de radio $r_i$ inscrito en un ángulo de medida $2\alpha$ tal que cada $\Gamma_i$ es externamente tangente a $\Gamma_{i+1}$ y $r_{i+1} < r_i$. Demostrar que la suma de las áreas de los círculos $\Gamma_i$ es igual al área de un círculo de radio $r =\frac 12 r_0 (\sqrt{ \sin \alpha} + \sqrt{\text{csc} \alpha}).$

Encontrar todos los polinomios cúbicos $x^3 +ax^2 +bx+c$ que admiten los números racionales $a$, $b$ y $c$ como raíces.

Dado el lado $a$ y la altura correspondiente $h_a$ de un triángulo $ABC$, encontrar una relación entre $a$ y $h_a$ tal que sea posible construir, con regla y compás, el triángulo $ABC$ tal que las alturas de $ABC$ formen un triángulo rectángulo que admita $h_a$ como hipotenusa.

Sea $E = \{1, 2, \dots , 16\}$ y sea $M$ la colección de todas las matrices de $4 \times 4$ cuyas entradas son miembros distintos de $E$ . Si una matriz $A = (a_{ij} )_{4\times4}$ se elige al azar de $M$ , calcule la probabilidad $p(k)$ de $\max_i \min_j a_{ij} = k$ para $k \in E$ . Además, determine $l \in E$ tal que $p(l) = \max \{p(k) | k \in E \}.$

Sean $a, b$ y $c$ números reales tales que \[\frac{1}{bc-a^2} + \frac{1}{ca-b^2}+\frac{1}{ab-c^2} = 0.\] Demuestre que \[\frac{a}{(bc-a^2)^2} + \frac{b}{(ca-b^2)^2}+\frac{c}{(ab-c^2)^2} = 0.\]

La secuencia $f_1, f_2, \cdots, f_n, \cdots $ de funciones se define para $x > 0$ recursivamente por \[f_1(x)=x , \quad f_{n+1}(x) = f_n(x) \left(f_n(x) + \frac 1n \right)\] Demuestre que existe uno y solo un número positivo $a$ tal que $0 < f_n(a) < f_{n+1}(a) < 1$ para todos los enteros $n \geq 1.$

Dos triángulos equiláteros están inscritos en un círculo de radio $r$ . Sea $A$ el área del conjunto que consiste en todos los puntos interiores a ambos triángulos. Demuestre que $2A \geq r^2 \sqrt 3.$