El siguiente problema está abierto en el sentido de que la respuesta a la parte (b) no se conoce actualmente. Una prueba de la parte (a) recibirá 5 puntos. Se pueden otorgar hasta 7 puntos adicionales por el progreso en la parte (b). Sea $p(x)$ un polinomio de grado $d$ con coeficientes pertenecientes al conjunto de los números racionales $\mathbb{Q}$. Suponga que, para cada $1 \le k \le d-1$, $p(x)$ y su derivada $k$-ésima $p^{(k)}(x)$ tienen una raíz común en $\mathbb{Q}$; es decir, existe $r_k \in \mathbb{Q}$ tal que $p(r_k) = p^{(k)}(r_k) = 0$.\n(a) Demuestre que si $d$ es primo, entonces existen constantes $a, b, c \in \mathbb{Q}$ tales que \[ p(x) = c(ax + b)^d. \]\n(b) ¿Para qué enteros $d \ge 2$ se cumple la conclusión de la parte (a)?