Sea $ABCD$ un rectángulo, y sea $\omega$ un arco circular que pasa por los puntos $A$ y $C$ . Sea $\omega_{1}$ el círculo tangente a las líneas $CD$ y $DA$ y al círculo $\omega$ , y que se encuentra completamente dentro del rectángulo $ABCD$ . De manera similar, sea $\omega_{2}$ el círculo tangente a las líneas $AB$ y $BC$ y al círculo $\omega$ , y que se encuentra completamente dentro del rectángulo $ABCD$ . Denotemos por $r_{1}$ y $r_{2}$ los radios de los círculos $\omega_{1}$ y $\omega_{2}$ , respectivamente, y por $r$ el inradio del triángulo $ABC$ . (a) Demostrar que $r_{1}+r_{2}=2r$ . (b) Demostrar que una de las dos tangentes internas comunes de los dos círculos $\omega_{1}$ y $\omega_{2}$ es paralela a la línea $AC$ y tiene la longitud $\left|AB-AC\right|$ .

Cada vértice de una cuadrícula de $m\times n$ se colorea de azul, verde o rojo de tal manera que todos los vértices de la frontera son rojos. Decimos que un cuadrado unitario de la cuadrícula está coloreado correctamente si: $(i)$ los tres colores aparecen en los vértices del cuadrado, y $(ii)$ un lado del cuadrado tiene los puntos extremos del mismo color. Demostrar que el número de cuadrados coloreados correctamente es par.

Los puntos $B = B_1 , B_2, \cdots , B_n , B_{n+1} = C$ se eligen en el lado $BC$ de un triángulo $ABC$ en ese orden. Sea $r_j$ el inradio del triángulo $AB_jB_{j+1}$ para $j = 1, \cdots, n$ , y $r$ el inradio de $\triangle ABC$ . Demostrar que existe una constante $\lambda$ independiente de $n$ tal que : \[(\lambda -r_1)(\lambda -r_2)\cdots (\lambda -r_n) =\lambda^{n-1}(\lambda -r)\]

Sea $p > 3$ un primo. Para cada $k\in \{1,2, \ldots , p-1\}$ , defina $x_k$ como el entero único en $\{1, \ldots, p-1\}$ tal que $kx_k\equiv 1 \pmod{p}$ y establezca $kx_k = 1+ pn_k$ . Demostrar que : \[\sum_{k=1}^{p-1}kn_k \equiv \frac{p-1}{2} \pmod{p}\]

Los números complejos $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ tienen la propiedad de que $\alpha^k +\beta^k +\gamma^k$ es un entero para cada número natural $k$ . Demostrar que el polinomio \[(x-\alpha)(x-\beta )(x-\gamma )\] tiene coeficientes enteros.

Encontrar el número de todos los pares no ordenados $\{A,B \}$ de subconjuntos de un conjunto de $8$ elementos, tal que $A\cap B \neq \emptyset$ y $\left |A \right | \neq \left |B \right |$ .

Encontrar todas las funciones $f \colon \mathbb{R_{+}}\to \mathbb{R_{+}}$ que satisfacen : \[f ( f (x)-x) = 2x\] para todo $x > 0$ .

Si en $ \triangle ABC$ , los triángulos $ AEB$ y $ AFC$ se construyen externamente tales que $ \angle AEB=2 \alpha$ , $ \angle AFB= 2 \beta$ . $ AE=EB$ , $ AF=FC$ . Construido externamente sobre $ BC$ está el triángulo $ BDC$ con $ \angle DBC= \beta$ , $ \angle BCD= \alpha$ . Demostrar que 1. $ DA$ es perpendicular a $ EF$ . 2. Si $ T$ es la proyección de $ D$ en $ BC$ , entonces demostrar que $ \frac{DA}{EF}= 2 \frac{DT}{BC}$ .

Para cualquier entero positivo $n$ , demostrar que existe un polinomio $P(x)$ de grado $n$ con coeficientes enteros tal que $P(0),P(1), \ldots, P(n)$ son todas potencias distintas de $2$ .

Sea $Q(x)$ un polinomio cúbico con coeficientes enteros. Suponga que un primo $p$ divide a $Q(x_j)$ para $j = 1$ , $2$ , $3$ , $4$ , donde $x_1 , x_2 , x_3 , x_4$ son enteros distintos del conjunto $\{0,1,\cdots, p-1\}$ . Demostrar que $p$ divide a todos los coeficientes de $Q(x)$ .