Encontrar todos los enteros positivos $x,y,z$ y $t$ tales que $2^x3^y+5^z=7^t$.

En un tablero hay $n$ clavos, cada dos conectados por una cuerda. Cada cuerda está coloreada en uno de los $n$ colores distintos dados. Para cada tres colores distintos, existen tres clavos conectados con cuerdas de estos tres colores. a) ¿Puede $n$ ser $6$? b) ¿Puede $n$ ser $7$?

Sean los círculos $k_1$ y $k_2$ que se intersectan en dos puntos $A$ y $B$, y sea $t$ una tangente común de $k_1$ y $k_2$ que toca a $k_1$ y $k_2$ en $M$ y $N$ respectivamente. Si $t\perp AM$ y $MN=2AM$, evaluar el ángulo $NMB$.

Sean $a,b,c$ números reales positivos tales que $a+b+c=1$. Demostrar que \[\frac {a}{b} + \frac {a}{c} + \frac {c}{b} + \frac {c}{a} + \frac {b}{c} + \frac {b}{a} + 6 \geq 2\sqrt{2}\left (\sqrt{\frac{1-a}{a}} + \sqrt{\frac{1-b}{b}} + \sqrt{\frac{1-c}{c}}\right ).\] ¿Cuándo se cumple la igualdad?

Un palíndromo es un número que es el mismo cuando sus dígitos se invierten. Encuentra todos los números que tienen al menos un múltiplo que es un palíndromo.

Sea $ABC$ un triángulo isósceles con base $AB$ . Se construye una semicircunferencia $\Gamma$ con su centro en el segmento AB y que es tangente a los dos catetos, $AC$ y $BC$ . Considera una línea tangente a $\Gamma$ que corta los segmentos $AC$ y $BC$ en $D$ y $E$ , respectivamente. La línea perpendicular a $AC$ en $D$ y la línea perpendicular a $BC$ en $E$ se intersecan en $P$ . Sea $Q$ el pie de la perpendicular desde $P$ a $AB$ . Muestra que $\frac{PQ}{CP}=\frac{1}{2}\frac{AB}{AC}$ .

¿Cuál es el mayor número de celdas que se pueden colorear en una tabla de $7\times7$ de tal manera que cualquier subtabla de $2\times2$ tenga a lo sumo 2 celdas coloreadas?

Dos amigos $A$ y $B$ deben resolver el siguiente acertijo. Cada uno de ellos recibe un número del conjunto $\{1,2,…,250\}$ , pero no ven el número que el otro recibió. El objetivo de cada amigo es descubrir el número del otro amigo. El procedimiento es el siguiente: cada amigo, por turnos, anuncia varios enteros positivos no necesariamente distintos: primero $A$ dice un número, luego $B$ dice uno, $A$ dice un número de nuevo, etc., de tal manera que la suma de todos los números dichos es $20$ . Demuestra que existe una estrategia que $A$ y $B$ han acordado previamente tal que puedan alcanzar el objetivo, sin importar qué número cada uno recibió al principio del acertijo.

Sea $P$ un punto en el interior del triángulo $ABC$ . Sean $X$ , $Y$ , y $Z$ puntos en los lados $BC$ , $AC$ , y $AB$ respectivamente, tales que $<PXC=<PYA=<PZB$ . Sean $U$ , $V$ , y $W$ puntos en los lados $BC$ , $AC$ , y $AB$ , respectivamente, o en sus extensiones si es necesario, con $X$ entre $B$ y $U$ , $Y$ entre $C$ y $V$ , y $Z$ entre $A$ y $W$ , tales que $PU=2PX$ , $PV=2PY$ , y $PW=2PZ$ . Si el área del triángulo $XYZ$ es $1$ , encuentra el área del triángulo $UVW$ .

Definimos $I(n)$ como el resultado cuando los dígitos de $n$ se invierten. Por ejemplo, $I(123)=321$ , $I(2008)=8002$ . Encuentra todos los enteros $n$ , $1\leq{n}\leq10000$ para los cuales $I(n)=\lceil{\frac{n}{2}}\rceil$ . Nota: $\lceil{x}\rceil$ denota el entero más pequeño mayor o igual a $x$ . Por ejemplo, $\lceil{2.1}\rceil=3$ , $\lceil{3.9}\rceil=4$ , $\lceil{7}\rceil=7$ .