Podemos cambiar un número natural $n$ de tres maneras: a) Si el número $n$ tiene al menos dos dígitos, borramos el último dígito y restamos ese dígito del número restante (por ejemplo, de $123$ obtenemos $12 - 3 = 9$); b) Si el último dígito es diferente de $0$, podemos cambiar el orden de los dígitos al opuesto (por ejemplo, de $123$ obtenemos $321$); c) Podemos multiplicar el número $n$ por un número del conjunto $ \{1, 2, 3,..., 2010\} $. ¿Podemos obtener el número $21062011$ del número $1012011$?

¿Podemos dividir un triángulo equilátero $\vartriangle ABC$ en $2011$ triángulos pequeños usando $122$ líneas rectas? (debería haber $2011$ triángulos que no estén divididos en partes más pequeñas y no debería haber polígonos que no sean triángulos)

Dentro de un cuadrado cuyo lado tiene longitud $1$ hay algunos círculos tales que la suma de sus circunferencias es igual a $10$. Demuestra que existe una línea que intersecta al menos cuatro de estos círculos.

Sean $x_1,x_2, ..., x_n$ números reales que satisfacen $\sum_{k=1}^{n-1} min(x_k; x_{k+1}) = min(x_1; x_n)$ . Demuestra que $\sum_{k=2}^{n-1} x_k \ge 0$ .

Descifrar la igualdad $(\overline{LARN} -\overline{ACA}) : (\overline{CYP} +\overline{RUS}) = C^{Y^P} \cdot R^{U^S} $ donde diferentes símbolos corresponden a diferentes dígitos y símbolos iguales corresponden a dígitos iguales. También se supone que todos estos dígitos son diferentes de $0$ .

Sean $a,b,c$ números reales positivos tales que $abc=1$ . Demuestra la desigualdad $\sum\frac{2a^2+\frac{1}{a}}{b+\frac{1}{a}+1}\geq 3$

Sea $\displaystyle {x_i> 1, \forall i \in \left \{1, 2, 3, \ldots, 2011 \right \}}$ . Demuestra que: $$\displaystyle{\frac{x^2_1}{x_2-1}+\frac{x^2_2}{x_3-1}+\frac{x^2_3}{x_4-1}+\ldots+\frac{x^2_{2010}}{x_{2011}-1}+\frac{x^2_{2011}}{x_1-1}\geq 8044}$$ ¿Cuándo se cumple la igualdad?

Determine todos los enteros positivos $a,b$ tal que $a^{2}b^{2}+208=4([a,b]+(a,b))^2$ donde $[a,b]$ - mcm de $a,b$ y $(a,b)$ - mcd de $a,b$ .

Encuentra todos los primos $p,q$ tales que $2p^3-q^2=2(p+q)^2$.

Encuentra todos los enteros positivos $n$ tales que la ecuación $y^2 + xy + 3x = n(x^2 + xy + 3y)$ tiene al menos una solución $(x, y)$ en enteros positivos.