Considere la secuencia $(a_n)_{n\ge 1}$ definida por $a_n=n$ para $n\in \{1,2,3.4,5,6\}$, y para $n \ge 7$ :\n\n$$a_n={\lfloor}\frac{a_1+a_2+...+a_{n-1}}{2}{\rfloor}$$\n\ndonde ${\lfloor}x{\rfloor}$ es el mayor entero menor o igual que $x$. Por ejemplo : ${\lfloor}2.4{\rfloor} = 2, {\lfloor}3{\rfloor} = 3$ y ${\lfloor}\pi {\rfloor}= 3$.\n\nPara todos los enteros $n \ge 2$, sea $S_n = \{a_1,a_1,...,a_n\}- \{r_n\}$ donde $r_n$ es el resto cuando $a_1 + a_2 + ... + a_n$ se divide por $3$. El signo menos $-$ denota la ''quítelo si está allí'' notación. Por ejemplo : $S_4 = {2,3,4}$ porque $r_4= 1$ así que $1$ se elimina de $\{1,2,3,4\}$. Sin embargo $S_5= \{1,2,3,4,5\}$ betawe $r_5 = 0$ y $0$ no está en el conjunto $\{1,2,3,4,5\}$.\n\n1. Determine $S_7,S_8,S_9$ y $S_{10}$.\n\n2. Decimos que un conjunto $S_n$ para $n\ge 6$ está bien balanceado si se puede dividir en tres subconjuntos disjuntos por pares con la misma suma. Por ejemplo : $S_6 = \{1,2,3,4,5,6\} =\{1,6\}\cup \{2,5\}\cup \{3,4\}$ y $1 +6 = 2 + 5 = 3 + 4$. Pruebe que $S_7,S_8,S_9$ y $S_{10}$ están bien balanceados.\n\n3. ¿Está bien balanceado el conjunto $S_{2019}$? Justifique su respuesta.