$PQR$ es un triángulo escaleno acutángulo. La altitud $PL$ y la bisectriz $RK$ de $\angle QRP$ se intersecan en $H$ ( $L$ en $QR$ y $K$ en $PQ$ ) . $KM$ es la altitud del triángulo $PKR$ ; se interseca con $PL$ en $N$ . La circunferencia circunscrita de $\triangle NKR$ se interseca con $QR$ en $S$ distinto de $Q$ . Demuestra que $SHK$ es un triángulo isósceles.

Encuentra enteros $m,n$ tales que la suma de sus cubos es igual al cuadrado de su suma.

Si el circuncentro y el centroide de un triángulo coinciden, demuestra que debe ser equilátero.

Un hombre del censo de servicio visitó una casa en la que las damas internas se negaron a revelar sus edades individuales, pero dijeron 'No nos importa darte la suma de las edades de cualquier dos damas que puedas elegir'. Entonces, el hombre del censo dijo: 'En ese caso, por favor, denme la suma de las edades de cada par posible de ustedes'. Dieron las sumas como: 30, 33, 41, 58, 66, 69. El hombre del censo tomó estas cifras y felizmente se fue. ¿Cómo calculó las edades individuales?

$N$ es un número de $50$ dígitos (en representación decimal). Todos los dígitos excepto el $26$-ésimo dígito (desde la izquierda) son $1$ . Si $N$ es divisible por $13$ , encuentra su $26$-ésimo dígito.

$P$ es cualquier punto dentro de un triángulo $ABC$ . El perímetro del triángulo $AB + BC + Ca = 2s$ . Demuestra que $s < AP +BP +CP < 2s$ .

Encuentra el residuo cuando $2^{1990}$ se divide por $1990.$

Una hoja cuadrada de papel $ABCD$ se dobla de tal manera que $B$ cae en el punto medio de $M$ de $CD$ . Demuestra que el pliegue dividirá a $BC$ en la razón $5 : 3$ .

Para todos los números reales positivos $ a,b,c$ , demuestra que \[ \frac {a}{b + c} + \frac {b}{c + a} + \frac {c}{a + b} \geq \frac {3}{2}.\]

Dos cajas contienen entre ellas 65 bolas de varios tamaños diferentes. Cada bola es blanca, negra, roja o amarilla. Si tomas cinco bolas del mismo color, al menos dos de ellas siempre serán del mismo tamaño (radio). Demuestra que hay al menos tres bolas que están en la misma caja, tienen el mismo color y tienen el mismo tamaño (radio).