El punto ${D}$ se encuentra en el lado ${BC}$ de $\vartriangle ABC$. Los circuncentros de $\vartriangle ADC$ y $\vartriangle BAD$ son ${O_1}$ y ${O_2}$, respectivamente y ${O_1O_2\parallel AB}$. El ortocentro de $\vartriangle ADC$ es ${H}$ y ${AH=O_1O_2}.$ Encuentra los ángulos de $\vartriangle ABC$ si $2m\left( \angle C \right)=3m\left( \angle B \right).$

Sea $ABC$ un triángulo en el que $BL$ es la bisectriz del ángulo $\angle ABC$ $\left( L\in AC \right)$, ${AH}$ es una altura de $\vartriangle ABC$ $\left( H\in BC \right)$ y ${M}$ es el punto medio del lado ${AB}$. Se sabe que los puntos medios de los segmentos ${BL}$ y ${MH}$ coinciden. Determina los ángulos internos del triángulo $\vartriangle ABC$.

Sean $AD, BF$ y ${CE}$ las alturas de $\vartriangle ABC$. Una línea que pasa por ${D}$ y es paralela a ${AB}$ intersecta la línea ${EF}$ en el punto ${G}$. Si ${H}$ es el ortocentro de $\vartriangle ABC$, encuentra el ángulo ${\angle{CGH}}$.

Sea $ABC$ un triángulo isósceles con $AB=AC$. En la extensión del lado ${CA}$ consideramos el punto ${D}$ tal que ${AD<AC}$. La bisectriz perpendicular del segmento ${BD}$ se encuentra con las bisectrices interna y externa del ángulo $\angle BAC$ en los puntos ${E}$ y ${Z}$, respectivamente. Demuestra que los puntos ${A, E, D, Z}$ son concíclicos.

Decide si es posible considerar $2011$ puntos en un plano tal que la distancia entre cada dos de estos puntos es diferente de $1$ y cada círculo unitario centrado en uno de estos puntos deja exactamente $1005$ puntos fuera del círculo.

Determina los polígonos con $n$ lados $(n \ge 4)$, no necesariamente convexos, que satisfacen la propiedad de que la reflexión de cada vértice del polígono con respecto a cada diagonal del polígono no cae fuera del polígono.\n\t Nota: Cada segmento que une dos vértices no vecinos del polígono es una diagonal. La reflexión se considera con respecto a la línea de soporte de la diagonal.

Considera un rectángulo cuyas longitudes de los lados son números naturales. Si alguien coloca tantos cuadrados como sea posible, cada uno con área $3$, dentro del rectángulo dado, de tal manera que los lados de los cuadrados sean paralelos a los lados del rectángulo, entonces el número máximo de estos cuadrados llena exactamente la mitad del área del rectángulo. Determina las dimensiones de todos los rectángulos con esta propiedad.

Sea $n>3$ un entero positivo. El triángulo equilátero ABC se divide en $n^2$ triángulos equiláteros congruentes más pequeños (con lados paralelos a sus lados). Sea $m$ el número de rombos que contienen dos triángulos equiláteros pequeños y $d$ el número de rombos que contienen ocho triángulos equiláteros pequeños. Encuentra la diferencia $m-d$ en términos de $n$.

Un conjunto $S$ de números naturales se llama 'bueno' si para cada elemento $x \in S$, $x$ no divide la suma de los números restantes en $S$. Encuentra el número máximo posible de elementos de un conjunto 'bueno' que es un subconjunto del conjunto $A = \{1, 2, 3, ..., 63\}$.

En un grupo de $n$ personas, cada una tenía una bola diferente. Realizaron una secuencia de intercambios, en cada intercambio, dos personas intercambiaron la bola que tenían en ese momento. Cada par de personas realizó al menos un intercambio. Al final, cada persona tenía la bola que tenía al principio. Encuentra el menor número posible de intercambios, si: a) $n = 5$, b) $n = 6$.