En un triángulo $ABC$ , con $\widehat{A} > 90^\circ$ , sean $O$ y $H$ su circuncentro y ortocentro, respectivamente. Sea $K$ la reflexión de $H$ con respecto a $A$ . Prueba que $K, O$ y $C$ son colineales si y sólo si $\widehat{A} - \widehat{B} = 90^\circ$ .

Sea $n \ge 2$ un entero. Hay $n$ cuentas numeradas $1, 2, \ldots, n$ . Dos collares hechos con algunas de estas cuentas se consideran iguales si podemos obtener uno girando el otro (sin permitir voltear). Por ejemplo, con $n \ge 5$ , el collar con cuatro cuentas $1, 5, 3, 2$ en el sentido de las agujas del reloj es el mismo que el que tiene $5, 3, 2, 1$ en el sentido de las agujas del reloj, pero es diferente del que tiene $1, 2, 3, 5$ en el sentido de las agujas del reloj. Denotamos por $D_0(n)$ (respectivamente $D_1(n)$ ) el número de formas en que podemos usar todas las cuentas para hacer un número par (resp. un número impar) de collares, cada uno de longitud al menos $3$ . Prueba que $n - 1$ divide a $D_1(n) - D_0(n)$ .

Un marcador se coloca en el origen de una red entera. Calvin y Hobbes juegan el siguiente juego. Calvin comienza el juego y cada uno de ellos toma turnos alternativamente. En cada turno, uno puede elegir dos enteros (no necesariamente distintos) $a, b$ , ninguno de los cuales fue elegido antes por ningún jugador y mover el marcador $a$ unidades en la dirección horizontal y $b$ unidades en la dirección vertical. Hobbes gana si el marcador está de vuelta en el origen en cualquier momento después del primer turno. Prueba o refuta que Calvin puede evitar que Hobbes gane. Nota: Un movimiento en la dirección horizontal por una cantidad positiva será hacia la derecha, y por una cantidad negativa será hacia la izquierda (y direcciones similares en el caso vertical).

En un triángulo $ABC$ con $B = 90^\circ$ , $D$ es un punto en el segmento $BC$ tal que los inradios de los triángulos $ABD$ y $ADC$ son iguales. Si $\widehat{ADB} = \varphi$ entonces prueba que $\tan^2 (\varphi/2) = \tan (C/2)$ .

$ABCD$ es un cuadrilátero cíclico. Los puntos medios de las diagonales $AC$ y $BD$ son respectivamente $P$ y $Q$ . Si $BD$ biseca $\angle AQC$ , entonces demuestre que $AC$ bisecará $\angle BPD$ .

Sea $n$ un entero positivo; y $S(n)$ denote la suma de todos los dígitos en la representación decimal de $n$ . Un entero positivo obtenido al eliminar uno o varios dígitos del extremo derecho de la representación decimal de $n$ se llama truncamiento de $n$ . La suma de todos los truncamientos de $n$ se denota como $T(n)$ . Demuestra que $S(n)+9T(n)=n$

La suma de los cuadrados de cuatro números reales $x,y,z,u$ es $1$ . Encuentra el valor mínimo de la expresión $E=(x-y)(y-z)(z-u)(u-x)$ . Encuentra también los valores mínimos de $x$ , $y$ , $z$ y $u$ cuando ocurre este mínimo.

$a,b,c$ son números reales positivos que satisfacen $\frac{2}{5} \leq c \leq \min{a,b}$ ; $ac \geq \frac{4}{15}$ y $bc \geq \frac{1}{5}$ Encuentra el valor máximo de $\left(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}\right)$ .

Hay $n$ (un número par) bolsas. Cada bolsa contiene al menos una manzana y como máximo $n$ manzanas. El número total de manzanas es $2n$ . Demuestra que siempre es posible dividir las bolsas en dos partes de tal manera que el número de manzanas en cada parte sea $n$ .

Sean $a_i (i=1,2,3,4,5,6)$ números reales. El polinomio $f(x)=a_1+a_2x+a_3x^2+a_4x^3+a_5x^4+a_6a^5+7x^6-4x^7+x^8$ puede factorizarse en factores lineales $x-x_i$ donde $i \in {1,2,3,...,8}$ . Encuentra los valores posibles de $a_1$ .