En un triángulo $ABC$ , con $AB \ne BC$ , $E$ es un punto en la línea $AC$ tal que $BE$ es perpendicular a $AC$ . Un círculo que pasa por $A$ y toca la línea $BE$ en un punto $P \ne B$ interseca la línea $AB$ por segunda vez en $X$ . Sea $Q$ un punto en la línea $PB$ diferente de $P$ tal que $BQ = BP$ . Sea $Y$ el punto de intersección de las líneas $CP$ y $AQ$ . Prueba que los puntos $C, X, Y, A$ son concíclicos si y sólo si $CX$ es perpendicular a $AB$ .

Sea $n \ge 2$ un entero y $f_1(x), f_2(x), \ldots, f_{n}(x)$ una secuencia de polinomios con coeficientes enteros. Se permite hacer movimientos $M_1, M_2, \ldots $ de la siguiente manera: en el $k$ - ésimo movimiento $M_k$ uno elige un elemento $f(x)$ de la secuencia con grado de $f$ al menos $2$ y lo reemplaza con $(f(x) - f(k))/(x-k)$ . El proceso se detiene cuando todos los elementos de la secuencia son de grado $1$ . Si $f_1(x) = f_2(x) = \cdots = f_n(x) = x^n + 1$ , determina si es posible o no hacer los movimientos apropiados de manera que el proceso se detenga con una secuencia de $n$ polinomios idénticos de grado 1.

Un entero positivo $a$ se llama un número doble si tiene un número par de dígitos (en base 10) y su representación en base 10 tiene la forma $a = a_1a_2 \cdots a_k a_1 a_2 \cdots a_k$ con $0 \le a_i \le 9$ para $1 \le i \le k$ , y $a_1 \ne 0$ . Por ejemplo, $283283$ es un número doble. Determina si hay o no infinitos números dobles $a$ tales que $a + 1$ es un cuadrado y $a + 1$ no es una potencia de $10$ .

Sea $h \ge 3$ un entero y $X$ el conjunto de todos los enteros positivos que son mayores o iguales que $2h$ . Sea $S$ un subconjunto no vacío de $X$ tal que se cumplen las dos condiciones siguientes: si $a + b \in S$ con $a \ge h, b \ge h$ , entonces $ab \in S$ ; si $ab \in S$ con $a \ge h, b \ge h$ , entonces $a + b \in S$ . Prueba que $S = X$ .

En un triángulo $ABC$ , sea $I$ su incentro. Se eligen puntos $D, E, F$ en los segmentos $BC, CA, AB$ , respectivamente, tales que $BD + BF = AC$ y $CD + CE = AB$ . Las circunferencias circunscritas de los triángulos $AEF, BFD, CDE$ intersecan las líneas $AI, BI, CI$ , respectivamente, en los puntos $K, L, M$ (diferentes de $A, B, C$ ) , respectivamente. Prueba que $K, L, M, I$ son concíclicos.

Para un entero positivo $n$ , una partición impar amigable con la suma de $n$ es una secuencia $(a_1, a_2, \ldots, a_k)$ de enteros positivos impares con $a_1 \le a_2 \le \cdots \le a_k$ y $a_1 + a_2 + \cdots + a_k = n$ tal que para todos los enteros positivos $m \le n$ , $m$ puede escribirse de forma única como una subsuma $m = a_{i_1} + a_{i_2} + \cdots + a_{i_r}$ . (Dos subsums $a_{i_1} + a_{i_2} + \cdots + a_{i_r}$ y $a_{j_1} + a_{j_2} + \cdots + a_{j_s}$ con $i_1 < i_2 < \cdots < i_r$ y $j_1 < j_2 < \cdots < j_s$ se consideran iguales si $r = s$ y $a_{i_l} = a_{j_l}$ para $1 \le l \le r$ . ) Por ejemplo, $(1, 1, 3, 3)$ es una partición impar amigable con la suma de $8$ . Encuentra el número de particiones impares amigables con la suma de $9999$ .

Los jugadores $A$ y $B$ juegan un juego con $N \geq 2012$ monedas y $2012$ cajas dispuestas alrededor de un círculo. Inicialmente $A$ distribuye las monedas entre las cajas de modo que haya al menos $1$ moneda en cada caja. Entonces los dos hacen movimientos en el orden $B,A,B,A,\ldots $ según las siguientes reglas: (a) En cada movimiento suyo $B$ pasa $1$ moneda de cada caja a una caja adyacente. (b) En cada movimiento suyo $A$ elige varias monedas que no estuvieron involucradas en el movimiento anterior de $B$ y están en diferentes cajas. Ella pasa cada moneda a una caja adyacente. El objetivo de la jugadora $A$ es asegurar al menos $1$ moneda en cada caja después de cada movimiento suyo, independientemente de cómo juegue $B$ y cuántos movimientos se hagan. Encuentra el menor $N$ que le permite tener éxito.

Un entero $a$ se llama amigable si la ecuación $(m^2+n)(n^2+m)=a(m-n)^3$ tiene una solución sobre los enteros positivos. a) Prueba que hay al menos $500$ enteros amigables en el conjunto $\{ 1,2,\ldots ,2012\}$ . b) Decide si $a=2$ es amigable.

Encuentra todas las funciones $f$ del conjunto de los números reales en sí mismo que satisfacen \[ f(x(1+y)) = f(x)(1 + f(y)) \] para todos los números reales $x, y$ .

Para un entero positivo $n$ , un polinomio cúbico $p(x)$ se dice que es $n$ - bueno si existen $n$ enteros distintos $a_1, a_2, \ldots, a_n$ tales que todas las raíces del polinomio $p(x) + a_i = 0$ son enteros para $1 \le i \le n$ . Dado un entero positivo $n$ prueba que existe un polinomio cúbico $n$ - bueno.