Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con ortocentro $H$, y sea $W$ un punto en el lado $BC$, que se encuentra estrictamente entre $B$ y $C$. Los puntos $M$ y $N$ son los pies de las alturas desde $B$ y $C$, respectivamente. Denotemos por $\omega_1$ la circunferencia circunscrita de $BWN$, y sea $X$ el punto en $\omega_1$ tal que $WX$ es un diámetro de $\omega_1$. Análogamente, denotemos por $\omega_2$ la circunferencia circunscrita del triángulo $CWM$, y sea $Y$ el punto tal que $WY$ es un diámetro de $\omega_2$. Demuestre que $X,Y$ y $H$ son colineales.

Los jugadores $A$ y $B$ juegan a un juego 'doloroso' en la recta real. El jugador $A$ tiene un bote de pintura con cuatro unidades de tinta negra. Una cantidad $p$ de esta tinta es suficiente para ennegrecer un intervalo real (cerrado) de longitud $p$. En cada ronda, el jugador $A$ elige algún entero positivo $m$ y proporciona $1/2^m$ unidades de tinta del bote. El jugador $B$ entonces elige un entero $k$ y ennegrece el intervalo desde $k/2^m$ hasta $(k+1)/2^m$ (algunas partes de este intervalo pueden haber sido ennegrecidas antes). El objetivo del jugador $A$ es alcanzar una situación donde el bote está vacío y el intervalo $[0,1]$ no está completamente ennegrecido. Decide si existe una estrategia para que el jugador $A$ gane en un número finito de movimientos.

Sea $n \ge 3$ un entero, y considere un círculo con $n + 1$ puntos marcados en él a igual distancia. Considere todas las etiquetas de estos puntos con los números $0, 1, ... , n$ tal que cada etiqueta se utiliza exactamente una vez; dos de tales etiquetados se consideran iguales si uno se puede obtener del otro mediante una rotación del círculo. Un etiquetado se llama hermoso si, para cualquier cuatro etiquetas $a < b < c < d$ con $a + d = b + c$, la cuerda que une los puntos etiquetados $a$ y $d$ no se interseca con la cuerda que une los puntos etiquetados $b$ y $c$. Sea $M$ el número de etiquetados hermosos, y sea N el número de pares ordenados $(x, y)$ de enteros positivos tales que $x + y \le n$ y $\gcd(x, y) = 1$. Demostrar que $$M = N + 1.$$

En algún país, varios pares de ciudades están conectados por vuelos directos de dos vías. Es posible ir de cualquier ciudad a cualquier otra mediante una secuencia de vuelos. La distancia entre dos ciudades se define como el menor número posible de vuelos necesarios para ir de una a otra. Se sabe que para cualquier ciudad hay como máximo $100$ ciudades a una distancia exactamente tres de ella. Demostrar que no hay ninguna ciudad tal que más de $2550$ otras ciudades tengan una distancia exactamente cuatro de ella.

Sea $r$ un entero positivo, y sean $a_0 , a_1 , \cdots $ una sucesión infinita de números reales. Supongamos que para todos los enteros no negativos $m$ y $s$ existe un entero positivo $n \in [m+1, m+r]$ tal que \[ a_m + a_{m+1} +\cdots +a_{m+s} = a_n + a_{n+1} +\cdots +a_{n+s} ] Demostrar que la sucesión es periódica, i.e. existe algún $p \ge 1 $ tal que $a_{n+p} =a_n $ para todo $n \ge 0$.

Sea $n$ un entero positivo, y sea $A$ un subconjunto de $\{ 1,\cdots ,n\}$. Una $A$ - partición de $n$ en $k$ partes es una representación de n como una suma $n = a_1 + \cdots + a_k$, donde las partes $a_1 , \cdots , a_k $ pertenecen a $A$ y no son necesariamente distintas. El número de partes diferentes en tal partición es el número de elementos (distintos) en el conjunto $\{ a_1 , a_2 , \cdots , a_k \}$. Decimos que una $A$ - partición de $n$ en $k$ partes es óptima si no hay $A$ - partición de $n$ en $r$ partes con $r<k$. Demostrar que cualquier $A$ - partición óptima de $n$ contiene como máximo $\sqrt[3]{6n}$ partes diferentes.

Un físico loco descubrió un nuevo tipo de partícula a la que llamó imon, después de que algunos de ellos aparecieran misteriosamente en su laboratorio. Algunos pares de imones en el laboratorio pueden estar entrelazados, y cada imon puede participar en muchas relaciones de entrelazamiento. El físico ha encontrado una forma de realizar los siguientes dos tipos de operaciones con estas partículas, una operación a la vez.\n(i) Si algún imon está entrelazado con un número impar de otros imones en el laboratorio, entonces el físico puede destruirlo.\n(ii) En cualquier momento, puede duplicar toda la familia de imones en el laboratorio creando una copia $I'$ de cada imon $I$. Durante este procedimiento, las dos copias $I'$ y $J'$ se entrelazan si y sólo si los imones originales $I$ y $J$ están entrelazados, y cada copia $I'$ se entrelaza con su imon original $I$; no ocurren ni desaparecen otros entrelazamientos en este momento.\nDemostrar que el físico puede aplicar una secuencia de tales operaciones que resulten en una familia de imones, de los cuales ninguno está entrelazado.

Una configuración de $4027$ puntos en el plano se llama Colombiana si consiste en $2013$ puntos rojos y $2014$ puntos azules, y no tres de los puntos de la configuración son colineales. Dibujando algunas líneas, el plano se divide en varias regiones. Un arreglo de líneas es bueno para una configuración Colombiana si las siguientes dos condiciones se satisfacen: i) Ninguna línea pasa a través de ningún punto de la configuración. ii) Ninguna región contiene puntos de ambos colores. Encuentra el valor mínimo de $k$ tal que para cualquier configuración Colombiana de $4027$ puntos, hay un buen arreglo de $k$ líneas.

Sea $n$ un entero positivo. Encuentra el entero más pequeño $k$ con la siguiente propiedad; Dados cualquier número real $a_1 , \cdots , a_d $ tales que $a_1 + a_2 + \cdots + a_d = n$ y $0 \le a_i \le 1$ para $i=1,2,\cdots ,d$ , es posible particionar estos números en $k$ grupos (algunos de los cuales pueden estar vacíos) tal que la suma de los números en cada grupo es a lo sumo $1$ .

Sea $m \neq 0 $ un entero. Encuentra todos los polinomios $P(x) $ con coeficientes reales tales que \[ (x^3 - mx^2 +1 ) P(x+1) + (x^3+mx^2+1) P(x-1) =2(x^3 - mx +1 ) P(x) \] para todo número real $x$ .