Si $ x$ , $ y$ , $ z$ , y $ n$ son números naturales, y $ n\geq z$ entonces pruebe que la relación $ x^n + y^n = z^n$ no se cumple.

Sea $ T$ el conjunto de todos los tripletes $ (a,b,c)$ de enteros tales que $ 1 \leq a < b < c \leq 6$ Para cada triplete $ (a,b,c)$ en $ T$ , tome el número $ a\cdot b \cdot c$ . Sume todos estos números correspondientes a todos los tripletes en $ T$ . Demuestre que la respuesta es divisible por 7.

Determine el número más grande en la secuencia infinita \[ 1, \sqrt[2]{2},\sqrt[3]{3},\sqrt[4]{4}, \dots, \sqrt[n]{n},\dots\]

Dados $ m$ y $ n$ como enteros positivos relativamente primos mayores que uno, demuestre que \[ \frac{\log_{10} m}{\log_{10} n}\] no es un número racional.

Sea $\mathbb{R}[x]$ el conjunto de todos los polinomios con coeficientes reales. Encuentre todas las funciones $f: \mathbb{R}[x] \rightarrow \mathbb{R}[x]$ que satisfacen las siguientes condiciones: $f$ mapea el polinomio cero a sí mismo, para cualquier polinomio no nulo $P \in \mathbb{R}[x]$ , $\text{deg} \, f(P) \le 1+ \text{deg} \, P$ , y para cualesquiera dos polinomios $P, Q \in \mathbb{R}[x]$ , los polinomios $P-f(Q)$ y $Q-f(P)$ tienen el mismo conjunto de raíces reales.

En un cuadrilátero convexo $ABCD$ , $\angle ABD=30^\circ$ , $\angle BCA=75^\circ$ , $\angle ACD=25^\circ$ y $CD=CB$ . Extienda $CB$ para que se encuentre con la circunferencia circunscrita del triángulo $DAC$ en $E$ . Demuestre que $CE=BD$ .

Un Mago y un Detective juegan un juego. El Mago coloca cartas numeradas del $1$ al $52$ boca abajo sobre una mesa. En cada movimiento, el Detective puede señalar dos cartas e indagar si los números en ellas son consecutivos. El Mago responde con la verdad. Después de un número finito de movimientos, el Detective señala dos cartas. Ella gana si los números en estas dos cartas son consecutivos, y pierde en caso contrario. Demuestre que el Detective puede garantizar una victoria si y solo si se le permite hacer al menos $50$ preguntas.

Betal marca $2021$ puntos en el plano de tal manera que no hay tres colineales, y dibuja todos los segmentos posibles que los unen. Luego elige $1011$ de estos segmentos y marca sus puntos medios. Finalmente, elige un segmento cuyo punto medio aún no está marcado, y desafía a Vikram a construir su punto medio usando solo una regla. ¿Puede Vikram siempre completar este desafío? Nota. Una regla es una regla infinitamente larga sin marcas, que solo se puede utilizar para dibujar la línea que une dos puntos distintos dados.

Encuentre todos los pares de enteros $(a,b)$ tales que cada uno de los dos polinomios cúbicos $$x^3+ax+b \, \, \text{y} \, \, x^3+bx+a$$ tenga todas sus raíces enteras.

Suponga que $r \ge 2$ es un entero, y sean $m_1, n_1, m_2, n_2, \dots, m_r, n_r$ $2r$ enteros tales que $$\left|m_in_j-m_jn_i\right|=1$$ para cualquier par de enteros $i$ y $j$ que satisfacen $1 \le i<j \le r$ . Determine el valor máximo posible de $r$ .