Fije un entero $k>2$ . Dos jugadores, llamados Ana y Banana, juegan el siguiente juego de números. Inicialmente, algún entero $n \ge k$ se escribe en la pizarra. Luego, hacen movimientos por turnos, comenzando Ana. Un jugador que hace un movimiento borra el número $m$ recién escrito en la pizarra y lo reemplaza por algún número $m'$ con $k \le m' < m$ que es coprimo con $m$ . El primer jugador que ya no puede moverse pierde. Un entero $n \ge k $ se llama bueno si Banana tiene una estrategia ganadora cuando el número inicial es $n$ , y malo en caso contrario. Considere dos enteros $n,n' \ge k$ con la propiedad de que cada número primo $p \le k$ divide a $n$ si y solo si divide a $n'$ . Demuestre que o bien tanto $n$ como $n'$ son buenos o ambos son malos.

Determine si existe una secuencia infinita de dígitos distintos de cero $a_1 , a_2 , a_3 , \cdots $ y un entero positivo $N$ tal que para cada entero $k > N$ , el número $\overline{a_k a_{k-1}\cdots a_1 }$ es un cuadrado perfecto.

Demuestre que existen infinitos enteros positivos $n$ tales que el factor primo más grande de $n^4 + n^2 + 1$ es igual al factor primo más grande de $(n+1)^4 + (n+1)^2 +1$ .

Asuma que $k$ y $n$ son dos enteros positivos. Demuestre que existen enteros positivos $m_1 , \dots , m_k$ tales que \[1+\frac{2^k-1}{n}=\left(1+\frac1{m_1}\right)\cdots \left(1+\frac1{m_k}\right).\]

Sea $\mathbb{Z} _{>0}$ el conjunto de enteros positivos. Encuentre todas las funciones $f: \mathbb{Z} _{>0}\rightarrow \mathbb{Z} _{>0}$ tales que \[ m^2 + f(n) \mid mf(m) +n \] para todos los enteros positivos $m$ y $n$ .

Sea el excírculo del triángulo $ABC$ opuesto al vértice $A$ tangente al lado $BC$ en el punto $A_1$ . Defina los puntos $B_1$ en $CA$ y $C_1$ en $AB$ análogamente, usando los excírculos opuestos a $B$ y $C$ , respectivamente. Suponga que el circuncentro del triángulo $A_1B_1C_1$ se encuentra en la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ . Pruebe que el triángulo $ABC$ es rectángulo.

Sea $ABCDEF$ un hexágono convexo con $AB=DE$ , $BC=EF$ , $CD=FA$ , y $\angle A-\angle D = \angle C -\angle F = \angle E -\angle B$ . Pruebe que las diagonales $AD$ , $BE$ , y $CF$ son concurrentes.

Sea $ABC$ un triángulo con $\angle B > \angle C$ . Sean $P$ y $Q$ dos puntos diferentes en la línea $AC$ tales que $\angle PBA = \angle QBA = \angle ACB $ y $A$ está ubicado entre $P$ y $C$ . Suponga que existe un punto interior $D$ del segmento $BQ$ para el cual $PD=PB$ . Sea el rayo $AD$ interseca al círculo $ABC$ en $R \neq A$ . Pruebe que $QB = QR$ .

En un triángulo $ABC$, sean $D$ y $E$ los pies de las bisectrices de los ángulos $A$ y $B$, respectivamente. Un rombo está inscrito en el cuadrilátero $AEDB$ (todos los vértices del rombo se encuentran en diferentes lados de $AEDB$). Sea $\varphi$ el ángulo no obtuso del rombo. Demuestre que $\varphi \le \max \{ \angle BAC, \angle ABC \}$.

Sea $\omega$ la circunferencia circunscrita de un triángulo $ABC$. Denotemos por $M$ y $N$ los puntos medios de los lados $AB$ y $AC$, respectivamente, y denotemos por $T$ el punto medio del arco $BC$ de $\omega$ que no contiene a $A$. Las circunferencias circunscritas de los triángulos $AMT$ y $ANT$ intersecan las bisectrices perpendiculares de $AC$ y $AB$ en los puntos $X$ e $Y$, respectivamente; asuma que $X$ e $Y$ se encuentran dentro del triángulo $ABC$. Las rectas $MN$ e $XY$ se intersecan en $K$. Demuestre que $KA=KT$.