¿Cuál es el término número $288$ de la secuencia $a,b,b,c,c,c,d,d,d,d,e,e,e,e,e,f,f,f,f,f,f,...?$

¿Para qué valores enteros positivos de $n$ se puede dividir el conjunto $\{ 1, 2, 3, \ldots, 4n \}$ en $n$ subconjuntos disjuntos de $4$ elementos $\{ a,b,c,d \}$ tal que en cada uno de estos conjuntos $a = \dfrac{b +c +d} {3}$ .

Dado cuatro números reales positivos distintos, demostrar que se pueden elegir tres números $A,B,C$ de entre ellos, tal que las tres ecuaciones cuadráticas\n\begin{eqnarray*}\nBx^2 + x + C &=& 0\\\nCx^2 + x + A &=& 0 \\\nAx^2 + x +B &=& 0\n\end{eqnarray*}\nSólo tienen raíces reales, o las tres ecuaciones sólo tienen raíces imaginarias.\n\nSean los cuatro números $a, b, c, d$ con $0<a\leq b \leq c \leq d$ . Si $bc\leq\dfrac{1}{4}$ entonces $ab$ y $ac$ son también no más de $\dfrac{1}{4}$ . De lo contrario $bc>\dfrac{1}{4}$ y así $bd$ y $cd$ son también mayores que $\dfrac{1}{4}$ . Lo primero implica que $1-4ab$ , $1-4ac$ , $1-4bc$ son todos no negativos y por lo tanto estableciendo $A=a$ , $B=b$ , $C=c$ da todas las ecuaciones raíces reales.\nLo segundo implica que $1-4bc$ , $1-4bd$ , $1-4cd$ son todos negativos y por lo tanto estableciendo $A=b$ , $B=c$ , $C=d$ da todas las ecuaciones raíces negativas.

Sean $\Gamma$ y $\Gamma'$ dos círculos concéntricos. Sean $ABC$ y $A'B'C'$ dos triángulos equiláteros inscritos en $\Gamma$ y $\Gamma'$ respectivamente. Si $P$ y $P'$ son dos puntos cualesquiera en $\Gamma$ y $\Gamma'$ respectivamente, demostrar que\n\[ P'A^2 + P'B^2 + P'C^2 = A'P^2 + B'P^2 + C'P^2. \]

Demostrar que no existen polinomios $p(x)$ y $q(x)$ cada uno con coeficientes enteros y de grado mayor o igual que 1 tal que\n\[ p(x)q(x) = x^5 +2x +1 . \]\n\nUna solución lejos de ser inteligente, pero que funciona, puede ser: Dado que $P(x) = x^5 +2x + 1$ no tiene raíz entera (que debería ser $\pm 1$ ) tendríamos, wlog, $degree(p) = 2$ y $degree(q) = 3$ $p$ y $q$ pueden ser escritas (tomando $-p$ y $-q$ si es necesario) : $\left ({x}^{2}+bx+c\right )$ y $\left ({x}^{3}+m{x}^{2}+nx+o\right )$ Expandiendo $\left ({x}^{2}+bx+c\right )\left ({x}^{3}+m{x}^{2}+nx+o\right )$ da $c = o = \pm 1$ , $m = -b$ , $m^2-n = -c$ , $m-n = 2$ lo cual no tiene solución.

En un pueblo $1998$ personas se ofrecieron como voluntarios para limpiar, para una feria, un campo rectangular con lados enteros y perímetro igual a $3996$ pies. Para este propósito, el campo se dividió en $1998$ partes iguales. Si cada parte tenía un área entera, hallar la longitud y la anchura del campo.\n\nLas condiciones del problema pueden traducirse en ecuaciones para la longitud y la anchura: \n\[ x+y=1998\quad xy=1998k \]\npara algún entero positivo k, y esto se traduce en una ecuación de segundo grado\n\[ z^2-1998z+1998k=0 \]\ncuyas soluciones son los valores x,y\n\[ z=999\pm\sqrt{999^2-1998k} \]\nasí que la expresión bajo el radical debe ser un cuadrado perfecto\n\[ 999^2-1998k=w^2 \]\ny operando buscamos un número w tal que\n\[ 1998|(999-w)(999-w) \]\nUsando la descomposición $1998=2\times 999=2\times 3^3\times 37$ se encuentra fácilmente que $w=333$ y las dimensiones del rectángulo son $1332$ y $666$ .

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo en el que $D,E,F$ son puntos en $BC,CA,AB$ respectivamente tales que $AD \perp BC$ ; $AE = BC$ ; y $CF$ biseca a $\angle C$ internamente. Suponga que $CF$ se encuentra con $AD$ y $DE$ en $M$ y $N$ respectivamente. Si $FM$ $= 2$ , $MN =1$ , $NC=3$ , hallar el perímetro de $\Delta ABC$ .

Para números reales positivos $x$ e $y$, define su media especial como el promedio de sus medias aritmética y geométrica. Encontrar el número total de pares de enteros $(x, y)$, con $x \le y$, del conjunto de números $\{1,2,...,2016\}$, tales que la media especial de $x$ e $y$ es un cuadrado perfecto.

Encontrar el número de pares de enteros positivos $(m; n)$, con $m \le n$, tales que el 'mínimo común múltiplo' (MCM) de $m$ y $n$ es igual a $600$.

Encuentra el valor mínimo de $m$ tal que cualquier subconjunto de $m$ elementos del conjunto de enteros $\{1,2,...,2016\}$ contiene al menos dos números distintos $a$ y $b$ que satisfacen $|a - b|\le 3$ .