Encuentra el número total de veces que el dígito ‘ $2$ ’ aparece en el conjunto de enteros $\{1,2,..,1000\}$ . Por ejemplo, el dígito ’ $2$ ’ aparece dos veces en el entero $229$ .

Sea $S = 1 + \frac{1}{\sqrt2}+ \frac{1}{\sqrt3}+\frac{1}{\sqrt4}+...+ \frac{1}{\sqrt{99}}+ \frac{1}{\sqrt{100}}$ . Encuentra $[S]$ . Puedes usar el hecho de que $\sqrt{n} < \frac12 (\sqrt{n} +\sqrt{n+1}) <\sqrt{n+1}$ para todos los enteros $n \ge 1$ .

Para números reales $x$ e $y$ , sea $M$ el valor máximo de la expresión $x^4y + x^3y + x^2y + xy + xy^2 + xy^3 + xy^4$ , sujeto a $x + y = 3$ . Encuentra $[M]$ .

Sea $M$ el valor máximo de $(6x-3y-8z)$ , sujeto a $2x^2+3y^2+4z^2 = 1$ . Encuentra $[M]$ .

Sean $a$ y $b$ las raíces de la ecuación $x^2 + x - 3 = 0$ . Encuentre el valor de la expresión $4b^2 -a^3$ .

Encuentre el número de soluciones enteras de $\left[\frac{x}{100} \left[\frac{x}{100}\right]\right]= 5$

Encuentre el coeficiente de $a^5b^5c^5d^6$ en la expansión de la siguiente expresión $(bcd +acd +abd +abc)^7$

Suponga que un círculo $C$ de radio $\sqrt2$ toca el eje $Y$ en el origen $(0, 0)$ . Un rayo de luz $L$ , paralelo al eje $X$ , se refleja en un punto $P$ en la circunferencia de $C$ , y después de la reflexión, el rayo reflejado $L'$ se vuelve paralelo al eje $Y$. Encuentre la distancia entre el rayo $L$ y el eje $X$.

Considera un triángulo $ABC$ con $AB = 13, BC = 14, CA = 15$ . Una línea perpendicular a $BC$ divide el interior de $\vartriangle ABC$ en dos regiones de igual área. Suponga que la perpendicular antes mencionada corta a $BC$ en $D$ , y corta a $\vartriangle ABC$ nuevamente en $E$ . Si $L$ es la longitud del segmento de línea $DE$ , encuentre $L^2$ .

Considere un triángulo rectángulo $ABC$ con $\angle C = 90^o$. Suponga que la hipotenusa $AB$ se divide en cuatro partes iguales por los puntos $D,E,F$, tal que $AD = DE = EF = FB$. Si $CD^2 +CE^2 +CF^2 = 350$, encuentre la longitud de $AB$.