Dado cuatro números reales positivos distintos, demostrar que se pueden elegir tres números $A,B,C$ de entre ellos, tal que las tres ecuaciones cuadráticas\n\begin{eqnarray*}\nBx^2 + x + C &=& 0\\\nCx^2 + x + A &=& 0 \\\nAx^2 + x +B &=& 0\n\end{eqnarray*}\nSólo tienen raíces reales, o las tres ecuaciones sólo tienen raíces imaginarias.\n\nSean los cuatro números $a, b, c, d$ con $0<a\leq b \leq c \leq d$ . Si $bc\leq\dfrac{1}{4}$ entonces $ab$ y $ac$ son también no más de $\dfrac{1}{4}$ . De lo contrario $bc>\dfrac{1}{4}$ y así $bd$ y $cd$ son también mayores que $\dfrac{1}{4}$ . Lo primero implica que $1-4ab$ , $1-4ac$ , $1-4bc$ son todos no negativos y por lo tanto estableciendo $A=a$ , $B=b$ , $C=c$ da todas las ecuaciones raíces reales.\nLo segundo implica que $1-4bc$ , $1-4bd$ , $1-4cd$ son todos negativos y por lo tanto estableciendo $A=b$ , $B=c$ , $C=d$ da todas las ecuaciones raíces negativas.