Sea $P(x)$ un polinomio de grado $10$ con coeficientes enteros no negativos. El residuo cuando $P(x)$ se divide por $(x - 1)$ es $3$. ¿Cuántos de tales polinomios hay?

Si $a,b,c \neq 0$ , demuestra que $\frac{a^2+b^2}{c^2} +\frac{b^2+c^2}{a^2} +\frac{c^2+a^2}{b^2} \geq 6$.

¿Cuál es el entero positivo más pequeño que tiene $24$ divisores positivos?

Si $n$ es un número par positivo, encuentra los dos últimos dígitos de $(2^{6n}+26)-(6^{2n}-62)$.

Si $xyz=1$ encuentra el valor de $\left(\frac{1}{1+x+\frac{1}{y}}+\frac{1}{1+y+\frac{1}{z}}+\frac{1}{1+z+\frac{1}{x}}\right)^2$.

¿Cuál es el residuo cuando $128^{2023}$ se divide por $126$?

¿Cuál es el menor valor posible de $x^2 + y^2 - x - y - xy$ donde $x, y$ son números reales?

Números reales $a, b, c$ satisfacen $(2b - a)^2 + (2b - c)^2 = 2(2b^2 - ac)$. Demuestra que $a + c = 2b$.

Encuentra el número de soluciones enteras de $||x| - 2023| < 2020$.

Un vendedor de paraguas tiene paraguas de $7$ colores diferentes. Tiene un total de $2023$ paraguas en stock, pero debido al embalaje de plástico, los colores no son visibles. ¿Cuál es el número mínimo de paraguas que uno debe comprar para asegurarse de que al menos $23$ paraguas sean del mismo color?