Una secuencia $\{a_n\}$ , $a_1=1,a_2=2,a_{n+1}=\dfrac{a_n^2+(-1)^n}{a_{n-1}}$ . Demuestra que $a_m^2+a_{m+1}^2\in\{a_n\},\forall m\in\Bbb N$.

$\triangle ABC$ , $AB>AC$ . El incírculo $I$ de $\triangle ABC$ se encuentra con $BC$ en el punto $D$ , $AD$ se encuentra con $I$ nuevamente en $E$ . $EP$ es tangente a $I$ , y $EP$ se encuentra con la línea de extensión de $BC$ en $P$ . $CF\parallel PE$ , $CF\cap AD=F$ . La línea $BF$ se encuentra con $I$ en $M,N$ , el punto $M$ está en el segmento de línea $BF$ , el segmento de línea $PM$ se encuentra con $I$ nuevamente en $Q$ . Demuestra que $\angle ENP=\angle ENQ$.

Sean $a,b$ números reales tales que la ecuación $x^3-ax^2+bx-a=0$ tiene tres raíces reales positivas. Encuentra el mínimo de $\frac{2a^3-3ab+3a}{b+1}$.

Para cualquier 2 polígonos convexos $S$ y $T$, si todos los vértices de $S$ son vértices de $T$, llama a $S$ un subpolígono de $T$.\nI. Demuestra que para un número impar $n \geq 5$, existen $m$ subpolígonos de un $n$-gono convexo tales que no comparten ninguna arista, y cada arista y diagonal del $n$-gono son aristas de los $m$ subpolígonos.\nII. Encuentra el valor posible más pequeño de $m$.

Dados números primos distintos $p$ y $q$ y un número natural $n \geq 3$, encuentra todos los $a \in \mathbb{Z}$ tales que el polinomio $f(x) = x^n + ax^{n-1} + pq$ se pueda factorizar en 2 polinomios integrales de grado al menos 1.

Dados $5n$ números reales $r_i, s_i, t_i, u_i, v_i \geq 1 (1 \leq i \leq n)$, sea $R = \frac {1}{n} \sum_{i=1}^{n} r_i$, $S = \frac {1}{n} \sum_{i=1}^{n} s_i$, $T = \frac {1}{n} \sum_{i=1}^{n} t_i$, $U = \frac {1}{n} \sum_{i=1}^{n} u_i$, $V = \frac {1}{n} \sum_{i=1}^{n} v_i$. Demuestra que $\prod_{i=1}^{n}\frac {r_i s_i t_i u_i v_i + 1}{r_i s_i t_i u_i v_i - 1} \geq \left(\frac {RSTUV +1}{RSTUV - 1}\right)^n$.

Encuentra el $n \in \mathbb{N}$ más pequeño tal que si 5 vértices cualesquiera de un $n$-gono regular se colorean de rojo, existe una línea de simetría $l$ del $n$-gono tal que cada punto rojo se refleja a través de $l$ a un punto no rojo.

Para un entero positivo $n$ , define $f(n)$ : el entero positivo más pequeño que no divide a $n$ . Considera la secuencia $(a_n): a_1=a_2=1, a_n=a_{f(n)}+1(n\geq3)$ . Por ejemplo, $a_3=a_2+1=2,a_4=a_3+1=3$ . (a) Demuestra que existe un entero positivo $C$ , para cualquier entero positivo $n$ , $a_n\leq C$ . (b) ¿Existen enteros positivos $M$ y $T$ , que satisfagan que para cualquier entero positivo $n\geq M$ , $a_n=a_{n+T}$ .

Para conjuntos de números no vacíos $S, T$ , defina los conjuntos $S+T=\{s+t\mid s\in S, t\in T\}$ y $2S=\{2s\mid s\in S\}$ . Sea $n$ un entero positivo, y $A, B$ dos subconjuntos no vacíos de $\{1,2\ldots,n\}$ . Demuestre que existe un subconjunto $D$ de $A+B$ tal que 1) $D+D\subseteq 2(A+B)$ , 2) $|D|\geq\frac{|A|\cdot|B|}{2n}$ , donde $|X|$ es el número de elementos del conjunto finito $X$ .

Sea $f:X\rightarrow X$ , donde $X=\{1,2,\ldots ,100\}$ , una función que satisface: 1) $f(x)\neq x$ para todo $x=1,2,\ldots,100$ ; 2) para cualquier subconjunto $A$ de $X$ tal que $|A|=40$ , tenemos $A\cap f(A)\neq\emptyset$ . Encuentre el mínimo $k$ tal que para cualquier función $f$ , existe un subconjunto $B$ de $X$ , donde $|B|=k$ , tal que $B\cup f(B)=X$ .