Sea $n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_t^{a_t}$ la factorización prima de $n$ . Defina $\omega(n)=t$ y $\Omega(n)=a_1+a_2+\ldots+a_t$ . Pruebe o refute: Para cualquier entero positivo fijo $k$ y reales positivos $\alpha,\beta$ , existe un entero positivo $n>1$ tal que i) $\frac{\omega(n+k)}{\omega(n)}>\alpha$ ii) $\frac{\Omega(n+k)}{\Omega(n)}<\beta$ .

Dados los enteros positivos $m,n(2\le m\le n)$ , sean $a_1,a_2,\ldots ,a_m$ una permutación de cualquier $m$ números distintos por pares tomados de $1,2,\ldots ,n$ . Si existe $k\in\{1,2,\ldots ,m\}$ tal que $a_k+k$ es impar, o existen enteros positivos $k,l(1\le k<l\le m)$ tales que $a_k>a_l$ , entonces llame a $a_1,a_2,\ldots ,a_m$ una buena secuencia. Encuentre el número de buenas secuencias.

Demuestre que existen infinitos triples de enteros positivos $(a,b,c)(a,b,c>2015)$ tales que $$ a|bc-1, b|ac+1, c|ab+1.$$

En el $\triangle ABC$ isósceles, $AB=AC$ , $I$ es su incentro, $D$ es un punto dentro del $\triangle ABC$ tal que $I,B,C,D$ son concíclicos. La línea que pasa por $C$ paralela a $BD$ se encuentra con $AD$ en $E$ . Demuestre que $CD^2=BD\cdot CE$ .

Sean $a,b,c$ números reales no negativos. Demuestre que $$\frac{(a-bc)^2+(b-ca)^2+(c-ab)^2}{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}\geq\frac{1}{2}.$$

Se da el entero $n>1$. Los enteros positivos $a_1,a_2,\cdots,a_n$ satisfacen la condición: (1) $a_1<a_2<\cdots<a_n$ ; (2) $\frac{a^2_1+a^2_2}{2},\frac{a^2_2+a^2_3}{2},\cdots,\frac{a^2_{n-1}+a^2_n}{2}$ son todos cuadrados perfectos. Demuestra que: $a_n\ge 2n^2-1.$

Sea $n$ un entero positivo impar, $a_1,a_2,\cdots,a_n$ sea cualquier permutación de los enteros positivos $1,2,\cdots,n$. Demuestra que: $(a_1-1)(a^2_2-2)(a^3_3-3)\cdots (a^n_n-n)$ es un número par.

Para cualquier entero positivo $n$, demuestra que no existen tres enteros impares $x,y,z$ que satisfagan la ecuación $(x+y)^n+(y+z)^n=(x+z)^n$.

$AB$ es una cuerda del círculo $\omega$, $P$ es un punto en el arco menor $AB$, $E,F$ están en el segmento $AB$ tal que $AE=EF=FB$. $PE,PF$ se encuentran con $\omega$ en $C,D$ respectivamente. Demuestra que $EF\cdot CD=AC\cdot BD$.

Sean $x,y,z \in [0,1]$ , y $|y-z|\leq \frac{1}{2},|z-x|\leq \frac{1}{2},|x-y|\leq \frac{1}{2}$ . Encuentre el valor máximo y mínimo de $W=x+y+z-yz-zx-xy$ .