Para todo entero positivo $n$ , muestra que existe un entero positivo $m$ tal que $n$ divide a $2^{m} + m$ .

Un pastel tiene la forma de un cuadrado de $ n$ x $ n$ compuesto por $ n^{2}$ cuadrados unitarios. Las fresas se encuentran en algunos de los cuadrados unitarios de modo que cada fila o columna contiene exactamente una fresa; llame a esta disposición $\mathcal{A}$ . Sea $\mathcal{B}$ otra disposición de este tipo. Suponga que cada rectángulo de cuadrícula con un vértice en la esquina superior izquierda del pastel contiene no menos fresas de la disposición $\mathcal{B}$ que de la disposición $\mathcal{A}$ . Demuestre que la disposición $\mathcal{B}$ se puede obtener de $ \mathcal{A}$ realizando una serie de conmutaciones, definidas de la siguiente manera: Una conmutación consiste en seleccionar un rectángulo de cuadrícula con solo dos fresas, situadas en su esquina superior derecha y en su esquina inferior izquierda, y mover estas dos fresas a las otras dos esquinas de ese rectángulo.

Un torneo $ (n, k) -$ es un concurso con $ n$ jugadores que se celebra en $ k$ rondas de tal manera que:\n$ (i)$ Cada jugador juega en cada ronda, y cada dos jugadores se encuentran como m\'aximo una vez.\n$ (ii)$ Si el jugador $ A$ se encuentra con el jugador $ B$ en la ronda $ i$ , el jugador $ C$ se encuentra con el jugador $ D$ en la ronda $ i$ , y el jugador $ A$ se encuentra con el jugador $ C$ en la ronda $ j$ , entonces el jugador $ B$ se encuentra con el jugador $ D$ en la ronda $ j$ .\nDetermine todos los pares $ (n, k)$ para los que existe un torneo $ (n, k) -$ .

Si $a,b,c$ son los lados de un triángulo, demuestre que \[\frac{\sqrt{b+c-a}}{\sqrt{b}+\sqrt{c}-\sqrt{a}}+\frac{\sqrt{c+a-b}}{\sqrt{c}+\sqrt{a}-\sqrt{b}}+\frac{\sqrt{a+b-c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c}}\leq 3 ]

Sea $P(x)$ un polinomio de grado $n > 1$ con coeficientes enteros y sea $k$ un entero positivo. Considera el polinomio $Q(x) = P(P(\ldots P(P(x)) \ldots ))$ , donde $P$ ocurre $k$ veces. Demuestra que hay a lo más $n$ enteros $t$ tales que $Q(t) = t$ .

Definimos una secuencia $ \left(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots \right)$ por\n\[ a_{n} = \frac {1}{n}\left(\left\lfloor\frac {n}{1}\right\rfloor + \left\lfloor\frac {n}{2}\right\rfloor + \cdots + \left\lfloor\frac {n}{n}\right\rfloor\right),\n\] donde $\lfloor x\rfloor$ denota la parte entera de $x$ .\na) Demuestra que $a_{n+1}>a_n$ infinitamente seguido.\nb) Demuestra que $a_{n+1}<a_n$ infinitamente seguido.

Para $ x \in (0, 1)$ sea $ y \in (0, 1)$ el número cuya $ n$ - ésima cifra después del punto decimal es la $ 2^{n}$ - ésima cifra después del punto decimal de $ x$ . Demuestre que si $ x$ es racional entonces también lo es $ y$ .

Determine todos los pares $(x, y)$ de enteros tales que \[1+2^{x}+2^{2x+1}= y^{2}.\]

Una forma en L es una de las siguientes cuatro piezas, cada una consta de tres cuadrados unitarios: [asy]\nsize(300);\ndefaultpen(linewidth(0.8));\npath P=(1,2)--(0,2)--origin--(1,0)--(1,2)--(2,2)--(2,1)--(0,1);\ndraw(P);\ndraw(shift((2.7,0))*rotate(90,(1,1))*P);\ndraw(shift((5.4,0))*rotate(180,(1,1))*P);\ndraw(shift((8.1,0))*rotate(270,(1,1))*P);\n[/asy] Un tablero de $5\times 5$, que consta de $25$ cuadrados unitarios, un entero positivo $k\leq 25$ y un suministro ilimitado de formas en L son dados. Dos jugadores A y B, juegan el siguiente juego: comenzando con A, marcan alternativamente un cuadrado unitario previamente no marcado hasta que hayan marcado un total de $k$ cuadrados unitarios. Decimos que una colocación de formas en L en cuadrados unitarios no marcados se llama $\textit{buena}$ si las formas en L no se superponen y cada una de ellas cubre exactamente tres cuadrados unitarios no marcados del tablero. B gana si cada colocación $\textit{buena}$ de formas en L deja descubiertos al menos tres cuadrados unitarios no marcados. Determina el valor mínimo de $k$ para el cual B tiene una estrategia ganadora.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Las líneas $l_1$ y $l_2$ son perpendiculares a $AB$ en los puntos $A$ y $B$ , respectivamente. Las líneas perpendiculares desde el punto medio $M$ de $AB$ a las líneas $AC$ y $BC$ se intersecan con $l_1$ y $l_2$ en los puntos $E$ y $F$ , respectivamente. Si $D$ es el punto de intersección de las líneas $EF$ y $MC$ , demuestra que \[\angle ADB = \angle EMF.\]