Dado un entero $n > 3.$ Demuestra que existe un conjunto $S$ que consta de $n$ enteros positivos distintos por pares tal que para cada dos subconjuntos no vacíos diferentes de $S$ : $A,B, \frac {\sum_{x\in A}x}{|A|}$ y $ \frac {\sum_{x\in B}x}{|B|}$ son dos compuestos que no comparten divisores comunes.

Sea $P$ un polígono convexo de $n$ lados cada uno de cuyos lados y diagonales está coloreado con uno de $n$ colores distintos. ¿Para qué $n$ existe un método de coloración tal que para cada tres de los $n$ colores, siempre podemos encontrar un triángulo cuyos vértices son de $P$ y cuyos lados están coloreados con los tres colores respectivamente?

Dado un entero $n > 3.$ Sean $a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}$ números reales que satisfacen $min |a_{i} - a_{j}| = 1, 1\le i\le j\le n.$ Encuentra el valor mínimo de $ \sum_{k = 1}^n|a_{k}|^3.$

¿Existen números complejos no nulos $a, b, c$ y un número natural $h$ tales que si los enteros $k, l, m$ satisfacen $|k| + |l| + |m| \geq 1996$ , entonces $|ka + lb + mc| > \frac {1}{h}$ es verdadero?

Sean $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n$ , y $\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_n$ , donde $n \geq 4$ , sean 2 conjuntos de números reales tales que \[\sum_{i=1}^{n} \alpha_i^2 < 1 \qquad \text{y} \qquad \sum_{i=1}^{n} \beta_i^2 < 1.\] Define \begin{align*} A^2 &= 1 - \sum_{i=1}^{n} \alpha_i^2,\\ B^2 &= 1 - \sum_{i=1}^{n} \beta_i^2,\\ W &= \frac{1}{2} (1 - \sum_{i=1}^{n} \alpha_i \beta_i)^2. \end{align*} Encuentra todos los números reales $\lambda$ tales que el polinomio \[x^n + \lambda (x^{n-1} + \cdots + x^3 + Wx^2 + ABx + 1) = 0,\] sólo tenga raíces reales.

3 países $A, B, C$ participan en una competencia donde cada país tiene 9 representantes. Las reglas son las siguientes: cada ronda de la competencia es entre 1 competidor de cada 2 países. El ganador juega en la siguiente ronda, mientras que el perdedor es eliminado. El país restante enviará entonces un representante para enfrentarse al ganador de la ronda anterior. La competencia comienza con $A$ y $B$ enviando un competidor cada uno. Si todos los competidores de un país han sido eliminados, la competencia continúa entre los 2 países restantes hasta que otro país sea eliminado. El equipo restante es el campeón. I. ¿Al menos cuántos juegos gana el equipo campeón? II. Si el equipo campeón ganó 11 partidos, ¿al menos cuántos partidos se jugaron?

12 puntos están ubicados en un reloj con la misma distancia , los números $1,2,3 , ... 12$ están marcados en cada punto en el sentido de las agujas del reloj . Use 4 tipos de colores (rojo, amarillo, azul, verde) para colorear los puntos , cada tipo de color tiene 3 puntos . Ahora , use estos 12 puntos como el vértice del cuadrilátero convexo para construir $n$ cuadriláteros convexos . Satisfacen las siguientes condiciones: (1). Los colores de los vértices de cada cuadrilátero convexo son diferentes entre sí . (2). Para cada 3 cuadriláteros entre ellos , existe un color tal que : los números en los 3 puntos pintados en este color son diferentes entre sí . Encuentra el máximo $n$ .

La secuencia $(a_n)_{n>=1}$ satisface que : $a_1=a_2=1$ $a_n=7a_{n-1}-a_{n-2}$ ( $n>=3$ ) , prueba que : para todo entero positivo n , el número $a_n+2+a_{n+1}$ es un cuadrado perfecto .

Sean $P_i$ $i=1,2,......n$ $n$ puntos en el plano , $M$ es un punto en el segmento $AB$ en el mismo plano , prueba : $\sum_{i=1}^{n} |P_iM| \le \max( \sum_{i=1}^{n} |P_iA| , \sum_{i=1}^{n} |P_iB| )$ . (Aquí $|AB|$ significa la longitud del segmento $AB$ ) .

En el triángulo $ABC$ , $AA_0,BB_0,CC_0$ son las bisectrices de los ángulos , $A_0,B_0,C_0$ están en los lados $BC,CA,AB,$ dibuja $A_0A_1//BB_0,A_0A_2//CC_0$ , $A_1$ está en $AC$ , $A_2$ está en $AB$ , $A_1A_2$ interseca a $BC$ en $A_3$ . $B_3$ , $C_3$ se construyen de manera similar. Prueba que : $A_3,B_3,C_3$ son colineales.