Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo con $\angle ABC = \angle ADC < 90^{\circ}$. Las bisectrices internas de $\angle ABC$ y $\angle ADC$ intersecan a $AC$ en $E$ y $F$ respectivamente, y se intersecan entre sí en el punto $P$. Sea $M$ el punto medio de $AC$ y sea $\omega$ el circuncírculo del triángulo $BPD$. Los segmentos $BM$ y $DM$ intersecan a $\omega$ nuevamente en $X$ e $Y$ respectivamente. Denotemos por $Q$ el punto de intersección de las líneas $XE$ e $YF$. Demuestre que $PQ \perp AC$.

Sea $D$ el pie de la perpendicular desde $A$ a la línea de Euler (la línea que pasa por el circuncentro y el ortocentro) de un triángulo escaleno agudo $ABC$. Un círculo $\omega$ con centro $S$ pasa por $A$ y $D$, e interseca los lados $AB$ y $AC$ en $X$ e $Y$ respectivamente. Sea $P$ el pie de la altitud desde $A$ a $BC$, y sea $M$ el punto medio de $BC$. Demuestre que el circuncentro del triángulo $XSY$ es equidistante de $P$ y $M$.

Sea $ABC$ un triángulo con $AB = AC \neq BC$ y sea $I$ su incentro. La línea $BI$ interseca a $AC$ en $D$, y la línea que pasa por $D$ perpendicular a $AC$ interseca a $AI$ en $E$. Demuestre que la reflexión de $I$ en $AC$ se encuentra en el circuncírculo del triángulo $BDE$.

Sea $k$ un entero positivo. Demuestre que para todo $n>k$ existen figuras convexas $F_{1},\ldots, F_{n}$ y $F$ tales que no existe un subconjunto de $k$ elementos de $F_{1},..., F_{n}$ y $F$ está cubierto por estos elementos, pero $F$ está cubierto por cada subconjunto de $k+1$ elementos de $F_{1}, F_{2},....., F_{n}$ .

Sean $B = (-1, 0)$ y $C = (1, 0)$ puntos fijos en el plano coordenado. Se dice que un subconjunto no vacío y acotado $S$ del plano es bueno si $\text{(i)}$ existe un punto $T$ en $S$ tal que para cada punto $Q$ en $S$, el segmento $TQ$ se encuentra completamente en $S$; y $\text{(ii)}$ para cualquier triángulo $P_1P_2P_3$, existe un punto único $A$ en $S$ y una permutación $\sigma$ de los índices $\{1, 2, 3\}$ para los cuales los triángulos $ABC$ y $P_{\sigma(1)}P_{\sigma(2)}P_{\sigma(3)}$ son similares. Demuestre que existen dos subconjuntos buenos distintos $S$ y $S'$ del conjunto $\{(x, y) : x \geq 0, y \geq 0\}$ tales que si $A \in S$ y $A' \in S'$ son las elecciones únicas de puntos en $\text{(ii)}$, entonces el producto $BA \cdot BA'$ es una constante independiente del triángulo $P_1P_2P_3$.

Sea $ABC$ un triángulo con circuncírculo $\Gamma$ e incentro $I$ y sea $M$ el punto medio de $\overline{BC}$. Los puntos $D$, $E$, $F$ son seleccionados en los lados $\overline{BC}$, $\overline{CA}$, $\overline{AB}$ tales que $\overline{ID} \perp \overline{BC}$, $\overline{IE}\perp \overline{AI}$ y $\overline{IF}\perp \overline{AI}$. Suponga que el circuncírculo de $\triangle AEF$ interseca a $\Gamma$ en un punto $X$ diferente de $A$. Demuestre que las líneas $XD$ y $AM$ se encuentran en $\Gamma$.

El triángulo $BCF$ tiene un ángulo recto en $B$ . Sea $A$ el punto en la línea $CF$ tal que $FA=FB$ y $F$ está entre $A$ y $C$ . El punto $D$ se elige de modo que $DA=DC$ y $AC$ es la bisectriz de $\angle{DAB}$ . El punto $E$ se elige de modo que $EA=ED$ y $AD$ es la bisectriz de $\angle{EAC}$ . Sea $M$ el punto medio de $CF$ . Sea $X$ el punto tal que $AMXE$ es un paralelogramo. Demuestre que $BD,FX$ y $ME$ son concurrentes.

Sea $P$ un punto dentro del triángulo $ABC$ y sea $R$ el circunradio del triángulo $ABC$. Pruebe que \[ \frac{PA}{AB\cdot AC}+\frac{PB}{BC\cdot BA}+\frac{PC}{CA\cdot CB}\ge\frac{1}{R}.\]

Considere todas las sucesiones finitas de números reales positivos cada uno de cuyos términos es a lo sumo $3$ y la suma de cuyos términos es mayor que $100$. Para cada una de estas sucesiones, sea $S$ la suma de la subsecuencia cuya suma es la más cercana a $100$, y defina el defecto de esta sucesión como el valor $|S-100|$. Hallar el máximo valor posible del defecto.

Hallar el mayor entero positivo $n$ no divisible por $10$ que es múltiplo de cada uno de los números obtenidos al borrar dos dígitos consecutivos (ninguno de ellos en la primera o última posición) de $n$. (Nota: $n$ se escribe en la notación habitual en base diez.)