Se sabe que $a_1, a_2,...a_{108}$ son $108$ enteros positivos diferentes que no exceden $2015$ . Demuestra que existe un entero positivo $k$ tal que hay al menos cuatro pares diferentes $(i, j) $ que satisfacen $a_i-a_j =k$ .

Si $n=p_1^{a_1},p_2^{a_2}...p_s^{a_s}$ entonces $\phi (n)=n \left(1- \frac{1}{p_1}\right)\left(1 - \frac{1}{p_2}\right)...\left(1- \frac{1}{p_s}\right)$ . Encuentra el entero positivo más pequeño $n$ tal que $\phi (n)=\frac{2^5}{47}n.$

Como se muestra en la figura, un círculo de radio $1$ pasa por el vértice $A$ de $\vartriangle ABC$ y es tangente al lado $BC$ en el punto $D$ , interseca los lados $AB$ y $AC$ en los puntos $E$ y $F$ respectivamente . También $ EF$ biseca $\angle AFD$ , y $\angle ADC = 80^o$ , ¿Existe un triángulo que satisfaga la condición, de modo que $\frac{AB+BC+CA}{AD^2}$ sea un número irracional, y el número irracional sea la raíz de una ecuación cuadrática con coeficientes enteros? Si no existe, por favor pruébalo; si existe, encuentra la ecuación cuadrática que satisface la condición.

Encuentra todas las soluciones enteras a la ecuación $$\frac{xyz}{w}+\frac{yzw}{x}+\frac{zwx}{y}+\frac{wxy}{z}=4$$

Dado un entero positivo $n \ge 3$ . Encuentra el número real más pequeño $k$ tal que para cualquier número real positivo excepto $a_1, a_2,..,a_n$ , $$\sum_{i=1}^{n-1}\frac{a_i}{ s-a_i}+\frac{ka_n}{s-a_n} \ge \frac{n-1}{n-2}$$ donde, $s=a_1+a_2+..+a_n$

La figura obtenida al eliminar un pequeño cuadrado unitario de la tabla de cuadrícula de $2\times 2$ se llama una forma de $L$ ''. Coloca $k$ formas de L en una tabla de cuadrícula de $8\times 8$. Cada forma de $L$ puede rotarse, pero se requiere que cada forma de $L$ cubra exactamente tres pequeños cuadrados unitarios en la tabla de cuadrícula, y el área común cubierta por dos formas de $L$ es $0$ , y a excepción de estas $k$ formas de $L$ , no se pueden colocar otras formas de $L$ . Encuentra el valor mínimo de $k$ .

El círculo $ \Gamma_{1},$ con radio $ r,$ es internamente tangente al círculo $ \Gamma_{2}$ en $ S.$ La cuerda $ AB$ de $ \Gamma_{2}$ es tangente a $ \Gamma_{1}$ en $ C.$ Sea $ M$ el punto medio del arco $ AB$ (que no contiene a $ S$ ) , y sea $ N$ el pie de la perpendicular de $ M$ a la recta $ AB.$ Demostrar que $ AC\cdot CB=2r\cdot MN.$

Demostrar que existen solo un número finito de tríos $ (x,y,z)$ de enteros positivos que satisfacen la ecuación $ abc=2009(a+b+c).$

Podemos poner enteros positivos $1,2,3, \cdots 64$ en cuadrículas de $8 \times 8$ de tal manera que la suma de los números en cualquier $4$ cuadrículas que tengan la forma como $T$ ( $3$ en la parte superior y $1$ debajo de la del medio en la parte superior, esto se puede rotar en cualquier dirección) se pueda dividir por $5$?

$AB$ es el diámetro del círculo $O$, $CD$ es una cuerda no diametral que es perpendicular a $AB$. Sea $E$ el punto medio de $OC$, conectar $AE$ y extenderlo para que se encuentre con el círculo en el punto $P$. Sean $DP$ y $BC$ se encuentran en $F$. Demuestra que $F$ es el punto medio de $BC$.