Sea $O$ el circuncentro del triángulo $ABC$ , una línea que pasa por $O$ interseca los lados $AB,AC$ en los puntos $M,N$ , $E$ es el punto medio de $MC$ , $F$ es el punto medio de $NB$ , prueba que : $\angle FOE= \angle BAC$

Encuentra todos los enteros positivos $n$ , tales que para todos los subconjuntos de 35 elementos de $M=(1,2,3,...,50)$ , existe al menos dos elementos diferentes $a,b$ , que satisfacen: $a-b=n$ o $a+b=n$ .

Si los enteros positivos $a,b,c$ son coprimos por pares, y, \n\[ a^2|(b^3+c^3), b^2|(a^3+c^3), c^2|(a^3+b^3) \]\nencuentra $a,b,$ y $c$

Si $\min \left \{ \frac{ax^2+b}{\sqrt{x^2+1}} \mid x \in \mathbb{R}\right \} = 3$ , entonces (1) Encuentra el rango de $b$ ; (2) para cada $b$ dado, encuentra $a$ .

Una línea $\ell$ con pendiente de $\frac{1}{3}$ intersecta la elipse $C:\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{4}=1$ en los puntos $A,B$ y el punto $P\left( 3\sqrt{2} , \sqrt{2}\right)$ está por encima de la línea $\ell$. (1) Demuestre que el lugar geométrico del incentro del triángulo $PAB$ es un segmento, (2) Si $\angle APB=\frac{\pi}{3}$ , entonces encuentre el área del triángulo $PAB$.

Una secuencia $a_n$ satisface $a_1 =2t-3$ ( $t \ne 1,-1$ ) , y $a_{n+1}=\dfrac{(2t^{n+1}-3)a_n+2(t-1)t^n-1}{a_n+2t^n-1}$. i) Encuentre $a_n$ , ii) Si $t>0$ , compare $a_{n+1}$ con $a_n$.

Sea $f(x)=|\log(x+1)|$ y sean $a,b$ dos números reales ( $a<b$ ) que satisfacen las ecuaciones $f(a)=f\left(-\frac{b+1}{a+1}\right)$ y $f\left(10a+6b+21\right)=4\log 2$. Encuentre $a,b$.

Dado que $a_{n}= \binom{200}{n} \cdot 6^{\frac{200-n}{3}} \cdot (\dfrac{1}{\sqrt{2}})^n$ ( $ 1 \leq n \leq 95$ ) . ¿Cuántos enteros hay en la secuencia ${a_n}$ ?

La línea $x-2y-1=0$ intersecta la parábola $y^2=4x$ en dos puntos diferentes $A, B$. Sea $C$ un punto en la parábola tal que $\angle ACB=\frac{\pi}{2}$. Encuentre la coordenada del punto $C$.

En un tetraedro $ABCD$, dado que $\angle ADB=\angle BDC =\angle CDA=\frac{\pi}{3}$ , $AD=BD=3$ , y $CD=2$. Encuentre el radio de la circunferencia circunscrita de $ABCD$.