Hay una rana en cada vértice de un 2n-gono regular con circunferencia circunscrita ($n \geq 2$). En cierto momento, todas las ranas saltan a los vértices vecinos simultáneamente (puede haber más de una rana en un vértice). Lo llamamos $\textsl{una forma de saltar}$. Resulta que hay $\textsl{una forma de saltar}$ con respecto al 2n-gono, de modo que la línea que conecta dos vértices distintos que tienen ranas después del salto no pasa por el circuncentro del 2n-gono. Encuentre todos los valores posibles de $n$.

En el triángulo $ABC$, las medianas y bisectrices correspondientes a los lados $BC$, $CA$, $AB$ son $m_a$, $m_b$, $m_c$ y $w_a$, $w_b$, $w_c$ respectivamente. $P=w_a \cap m_b$, $Q=w_b \cap m_c$, $R=w_c \cap m_a$. Denotemos las áreas del triángulo $ABC$ y $PQR$ por $F_1$ y $F_2$ respectivamente. Encuentre la menor constante positiva $m$ tal que $\frac{F_1}{F_2}<m$ se cumple para cualquier $\triangle{ABC}$.

$x$, $y$ y $z$ son reales positivos tales que $x+y+z=xyz$. Encuentre el valor mínimo de:\n\[\nx^7(yz-1)+y^7(zx-1)+z^7(xy-1)\n\]

Sea $\left(x_{n}\right)$ una sucesión real que satisface $x_{0}=0$, $x_{2}=\sqrt[3]{2}x_{1}$ y $x_{n+1}=\frac{1}{\sqrt[3]{4}}x_{n}+\sqrt[3]{4}x_{n-1}+\frac{1}{2}x_{n-2}$ para cada entero $n\geq 2$, y tal que $x_{3}$ es un entero positivo. Encuentre el número mínimo de enteros que pertenecen a esta secuencia.

Suponga que $A=\{1,2,\dots,2002\}$ y $M=\{1001,2003,3005\}$. $B$ es un subconjunto no vacío de $A$. Se dice que $B$ es un conjunto $M$ - libre si la suma de dos números cualesquiera en $B$ no pertenece a $M$. Si $A=A_1\cup A_2$, $A_1\cap A_2=\emptyset$ y $A_1,A_2$ son conjuntos $M$ - libres, llamamos al par ordenado $(A_1,A_2)$ una $M$ - partición de $A$. Encuentre el número de $M$ - particiones de $A$.

Encuentre todas las funciones $f: \mathbb{Z}^+\to \mathbb{R}$, que satisfacen $f(n+1)\geq f(n)$ para todo $n\geq 1$ y $f(mn)=f(m)f(n)$ para todo $(m,n)=1$.

La secuencia $\{a_n\}$ se define de la siguiente manera: $a_1$ es un número racional positivo, $a_n= \frac{p_n}{q_n}$ , ( $n= 1,2,…$ ) es un entero positivo, donde $p_n$ y $q_n$ son enteros positivos que son relativamente primos, entonces $a_{n+1} = \frac{p_n^2+2015}{p_nq_n}$ ¿Existe un $a_1>2015$ , que haga que la secuencia $\{a_n\}$ sea una secuencia acotada? Justifica tu conclusión.

Usa $[x]$ para representar el entero más grande que no es mayor que un número real $x$ . Sea $$S_n=\left[1+\frac12 +\frac13+...+\frac{1}{n}\right], \,\, (n =1,2,..,)$$ Demuestra que hay infinitos $n$ tales que $C_n^{S_n}$ es un número par.

La figura obtenida al eliminar un pequeño cuadrado unitario de la tabla de cuadrícula de $2\times 2$ se llama una forma de $L$ ''. Coloca $k$ formas de L en una tabla de cuadrícula de $8\times 8$. Cada forma de $L$ puede rotarse, pero se requiere que cada forma de $L$ cubra exactamente tres pequeños cuadrados unitarios en la tabla de cuadrícula, y el área común cubierta por dos formas de $L$ es $0$ , y a excepción de estas $k$ formas de $L$ , no se pueden colocar otras formas de $L$ . Encuentra el valor mínimo de $k$ .

Como se muestra en la figura , los puntos $D,E,F$ lies the sides $AB$ , $BC$ , $CA$ of the acute angle $\vartriangle ABC$ respectively. If $\angle EDC = \angle CDF$ , $\angle FEA=\angle AED$ , $\angle DFB =\angle BFE$ , prove that the $CD$ , $AE$ , $BF$ are the altitudes of $\vartriangle ABC$ .