$x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ son números positivos tales que $\sum_{i=1}^{n}x_{i}= 1$ . Demuestre que \[\left( \sum_{i=1}^{n}\sqrt{x_{i}}\right) \left( \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{1+x_{i}}}\right) \leq \frac{n^{2}}{\sqrt{n+1}}\]

El centro de la circunferencia circunscrita del cuadrilátero $ABCD$ es $O$ y $O$ no está en ninguno de los lados de $ABCD$ . $P=AC \cap BD$ . Los circuncentros de $\triangle{OAB}$ , $\triangle{OBC}$ , $\triangle{OCD}$ y $\triangle{ODA}$ son $O_1$ , $O_2$ , $O_3$ y $O_4$ respectivamente. Demuestre que $O_1O_3$ , $O_2O_4$ y $OP$ son concurrentes.

Sean $a_{i}$ y $b_{i}$ ( $i=1,2, \cdots, n$ ) números racionales tales que para cualquier número real $x$ existe: \[x^{2}+x+4=\sum_{i=1}^{n}(a_{i}x+b)^{2}\] Encuentre el valor mínimo posible de $n$ .

Sea $\omega$ la circunferencia circunscrita del $\triangle{ABC}$ . $P$ es un punto interior del $\triangle{ABC}$ . $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ son las intersecciones de $AP, BP, CP$ respectivamente y $A_{2}, B_{2}, C_{2}$ son los puntos simétricos de $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ con respecto a los puntos medios del lado $BC, CA, AB$ . Demuestre que la circunferencia circunscrita del $\triangle{A_{2}B_{2}C_{2}}$ pasa por el ortocentro del $\triangle{ABC}$ .

Dos secuencias de valores positivos $\{ a_{n}\}$ y $\{ b_{n}\}$ satisfacen: (a): $a_{0}=1 \geq a_{1}$ , $a_{n}(b_{n+1}+b_{n-1})=a_{n-1}b_{n-1}+a_{n+1}b_{n+1}$ , $n \geq 1$ . (b): $\sum_{i=1}^{n}b_{i}\leq n^{\frac{3}{2}}$ , $n \geq 1$ . Encuentre el término general de $\{ a_{n}\}$ .

Sea $S_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{n}$, donde $n$ es un entero positivo. Demuestre que para cualquier número real $a,b,0\le a\le b\le 1$, existen infinitos $n\in\mathbb{N}$ tales que \[a<S_n-[S_n]<b\] donde $[x]$ representa el entero más grande que no excede a $x$.

Sean $P_0 ,P_1 ,P_2 , ... ,P_n$ sean $n+1$ puntos en el plano. Sea $d$ ( $d>0$ ) denota el valor mínimo de todas las distancias entre dos puntos cualesquiera. Demuestre que \[|P_0P_1|\cdot |P_0P_2|\cdot ... \cdot |P_0P_n|>(\frac{d}{3})^n\sqrt{(n+1)!}.\]

Demuestre que el conjunto $\{2,2^2,\ldots,2^n,\ldots\}$ satisface las siguientes propiedades: (1) Para cada $a\in A, b\in\mathbb{N}$, si $b<2a-1$, entonces $b(b+1)$ no es un múltiplo de $2a$; (2) Para cada entero positivo $a\notin A,a\ne 1$, existe un entero positivo $b$, tal que $b<2a-1$ y $b(b+1)$ es un múltiplo de $2a$.

En un triángulo acutángulo $ABC$, $AB>AC$. $M,N$ son puntos distintos en el lado $BC$ tales que $\angle BAM=\angle CAN$. Sean $O_1,O_2$ los circuncentros de $\triangle ABC, \triangle AMN$, respectivamente. Demuestre que $O_1,O_2,A$ son colineales.

Cada lado de un polígono convexo de $2019$ - gon está teñido con rojo, amarillo y azul, y hay exactamente $673$ lados de cada tipo de color. Demuestra que existe al menos una forma de dibujar $2016$ diagonales para dividir el polígono convexo de $2019$ - gon en $2017$ triángulos, tal que dos cualesquiera de las $2016$ diagonales no tienen intersección dentro del polígono de $2019$ - gon, y para cualquier triángulo en todos los $2017$ triángulos, los colores de los tres lados del triángulo son todos iguales, o totalmente diferentes.