$k$ y $n$ son enteros positivos que son mayores que $1$ . $N$ es el conjunto de enteros positivos. $A_1, A_2, \cdots A_k$ son subconjuntos de $N$ que no se intersecan por pares y $A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_k = N$ . Demuestre que para algún $i \in \{ 1,2,\cdots,k \}$ , existen infinitos polinomios no factorizables de grado n de modo que los coeficientes de un polinomio son distintos por pares y todos los coeficientes están en $A_i$ .

Demuestre que para cualquier entero positivo dado $m$ y $n$ , siempre hay un entero positivo $k$ de modo que $2^k-m$ tiene al menos $n$ divisores primos diferentes.

Sean las intersecciones de $\odot O_1$ y $\odot O_2$ $A$ y $B$ . El punto $R$ está en el arco $AB$ de $\odot O_1$ y $T$ está en el arco $AB$ de $\odot O_2$ . $AR$ y $BR$ se encuentran con $\odot O_2$ en $C$ y $D$ ; $AT$ y $BT$ se encuentran con $\odot O_1$ en $Q$ y $P$ . Si $PR$ y $TD$ se encuentran en $E$ y $QR$ y $TC$ se encuentran en $F$ , entonces pruebe: $AE \cdot BT \cdot BR = BF \cdot AT \cdot AR$ .

Dados los enteros positivos $m$ y $n$ de modo que hay un tablero de ajedrez con $mn$ rejillas de $1 \times 1$. Colorea las rejillas en rojo y azul (Las rejillas que tienen un lado en común no son del mismo color y la rejilla en la esquina izquierda en la parte inferior es roja). Ahora la diagonal que va desde la esquina izquierda en la parte inferior hasta la esquina superior derecha está coloreada en segmentos rojos y azules (Cada segmento tiene el mismo color que la rejilla que lo contiene). Encuentre la suma de la longitud de todos los segmentos rojos.

La función $f(n)$ satisface $f(0)=0$ , $f(n)=n-f \left( f(n-1) \right)$ , $n=1,2,3 \cdots$ . Encuentre todos los polinomios $g(x)$ con coeficientes reales tales que \[ f(n)= [ g(n) ], \qquad n=0,1,2 \cdots \] Donde $[ g(n) ]$ denota el mayor entero que no excede a $g(n)$ .

Sea $A$ un subconjunto no vacío del conjunto de todos los enteros positivos $N^*$ . Si cualquier entero positivo suficientemente grande puede expresarse como la suma de $2$ elementos en $A$ (Los dos enteros no tienen que ser diferentes), entonces llamamos a $A$ un radical divalente. Para $x \geq 1$ , sea $A(x)$ el conjunto de todos los elementos en $A$ que no exceden a $x$ , demuestre que existe un radical divalente $A$ y un número constante $C$ de modo que para cada $x \geq 1$ , siempre existe $\left| A(x) \right| \leq C \sqrt{x}$ .

Encuentre todos los polinomios de segundo grado $d(x)=x^{2}+ax+b$ con coeficientes enteros, de modo que exista un polinomio $p(x)$ con coeficientes enteros y un polinomio $q(x)$ con coeficientes enteros no nulos que satisfagan: \[\left( p(x) \right)^{2}-d(x) \left( q(x) \right)^{2}=1, \quad \forall x \in \mathbb R.\]

Dados tres números reales positivos $ x$ , $ y$ , $ z$ tales que $ x + y + z = 1$ , demuestre que $ \frac {xy}{\sqrt {xy + yz}} + \frac {yz}{\sqrt {yz + zx}} + \frac {zx}{\sqrt {zx + xy}} \le \frac {\sqrt {2}}{2}$ .

Sean $K$ y $M$ puntos en el lado $AB$ de un triángulo $\triangle{ABC}$ , y sean $L$ y $N$ puntos en el lado $AC$ . El punto $K$ está entre $M$ y $B$ , y el punto $L$ está entre $N$ y $C$ . Si $\frac{BK}{KM}=\frac{CL}{LN}$ , entonces demuestre que los ortocentros de los triángulos $\triangle{ABC}$ , $\triangle{AKL}$ y $\triangle{AMN}$ se encuentran en una línea.

$d$ y $n$ son enteros positivos tales que $d \mid n$ . Los conjuntos de n números $(x_1, x_2, \cdots x_n)$ satisfacen la siguiente condición: (1) $0 \leq x_1 \leq x_2 \leq \cdots \leq x_n \leq n$ (2) $d \mid (x_1+x_2+ \cdots x_n)$ Demuestre que en todos los conjuntos de n números que cumplen las condiciones, exactamente la mitad satisfacen $x_n=n$ .