Sea $f$ una función del conjunto de los enteros al conjunto de los enteros positivos. Suponga que, para cualesquiera dos enteros $m$ y $n$, la diferencia $f(m) - f(n)$ es divisible por $f(m- n)$. Demuestre que, para todos los enteros $m$ y $n$ con $f(m) \leq f(n)$, el número $f(n)$ es divisible por $f(m)$.

Para cada entero positivo $k,$ sea $t(k)$ el mayor divisor impar de $k.$ Determina todos los enteros positivos $a$ para los cuales existe un entero positivo $n,$ tal que todas las diferencias \[t(n+a)-t(n); t(n+a+1)-t(n+1), \ldots, t(n+2a-1)-t(n+a-1)\] son divisibles por 4.

Sea $n \geq 1$ un entero impar. Determina todas las funciones $f$ del conjunto de los enteros a sí mismo, tal que para todos los enteros $x$ e $y$ la diferencia $f(x)-f(y)$ divide a $x^n-y^n.$

Considera un polinomio $P(x) = \prod^9_{j=1}(x+d_j),$ donde $d_1, d_2, \ldots d_9$ son nueve enteros distintos. Demuestra que existe un entero $N,$ tal que para todos los enteros $x \geq N$ el número $P(x)$ es divisible por un número primo mayor que 20.

Para cualquier entero $d > 0,$ sea $f(d)$ el menor entero posible que tiene exactamente $d$ divisores positivos (así que por ejemplo tenemos $f(1)=1, f(5)=16,$ y $f(6)=12$ ) . Demuestra que para cada entero $k \geq 0$ el número $f\left(2^k\right)$ divide a $f\left(2^{k+1}\right).$

Sea $n$ un número natural y $f(n) = 2n - 1995 \lfloor \frac{n}{1000} \rfloor$ ( $\lfloor$ $\rfloor$ denota la función piso). \n1. Demostrar que si para algún entero $r$ : $f(f(f...f(n)...))=1995$ (donde la función $f$ se aplica $r$ veces), entonces $n$ es múltiplo de $1995$ . \n2. Demostrar que si $n$ es múltiplo de 1995, entonces existe r tal que : $f(f(f...f(n)...))=1995$ (donde la función $f$ se aplica $r$ veces). Determinar $r$ si $n=1995.500=997500$

El semicírculo con centro $O$ y diámetro $AC$ se divide en dos arcos $AB$ y $BC$ con razón $1: 3$ . $M$ es el punto medio del radio $OC$ . Sea $T$ el punto del arco $BC$ tal que el área del cuadrilátero $OBTM$ es máxima. Hallar dicha área en función del radio.

Escribimos los dígitos de $1995$ de la siguiente manera: $199511999955111999999555......$ \n1. Determinar cuántos dígitos tenemos que escribir para que la suma de los dígitos escritos sea $2880$ . \n2. ¿Qué dígito está en la posición número $1995$ ?

Sea $ABCD$ un rectángulo con: $AB=a$ , $BC=b$ . Dentro del rectángulo tenemos dos círculos exteriormente tangentes tales que uno es tangente a los lados $AB$ y $AD$ , el otro es tangente a los lados $CB$ y $CD$ . \n1. Hallar la distancia entre los centros de los círculos (usando $a$ y $b$ ) . \n2. Cuando los radios de ambos círculos cambian, el punto de tangencia entre ambos cambia y describe un lugar geométrico. Hallar ese lugar geométrico.

Hay diez puntos marcados en una circunferencia, numerados del $1$ al $10$ y se unen todos los puntos con segmentos. Se colorean los segmentos, algunos de rojo y otros de azul. Sin cambiar los colores de los segmentos, se reenumeran todos los puntos del $1$ al $10$. ¿Será posible colorear los segmentos y reenumerar los puntos de manera que los números que estaban unidos con rojo ahora estén unidos con azul y los números que estaban unidos con azul ahora estén unidos con rojo?