Sean $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$ números reales positivos tales que $a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}<1$ . Demuestre que \[ \frac{a_{1} a_{2} \cdots a_{n} \left[ 1 - (a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n}) \right] }{(a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n})( 1 - a_{1})(1 - a_{2}) \cdots (1 - a_{n})} \leq \frac{1}{ n^{n+1}}. \]

Sea $a_{0},a_{1},a_{2},\ldots $ una secuencia creciente de enteros no negativos tal que cada entero no negativo puede ser expresado unicamente en la forma $a_{i}+2a_{j}+4a_{k}$ , donde $i,j$ y $k$ no son necesariamente distintos. Determine $a_{1998}$ .

Demuestre que para cada entero positivo $n$ , existe un entero positivo con las siguientes propiedades: Tiene exactamente $n$ dígitos. Ninguno de los dígitos es 0. Es divisible por la suma de sus dígitos.

Para cualquier entero positivo $n$ , sea $\tau (n)$ denota el número de sus divisores positivos (incluyendo 1 y él mismo). Determine todos los enteros positivos $m$ para los cuales existe un entero positivo $n$ tal que $\frac{\tau (n^{2})}{\tau (n)}=m$ .

Determinar el menor valor posible de $f(1998),$ donde $f:\Bbb{N}\to \Bbb{N}$ es una función tal que para todo $m,n\in {\Bbb N}$ , \[f( n^{2}f(m)) =m( f(n)) ^{2}. \]

Para dos enteros no negativos $n$ y $k$ que satisfacen $n\geq k$ , definimos el número $c(n,k)$ como sigue: - $c(n,0)=c(n,n)=1$ para todo $n\geq 0$ ; - $c(n+1,k)=2^{k}c(n,k)+c(n,k-1)$ para $n\geq k\geq 1$ . Demostrar que $c(n,k)=c(n,n-k)$ para todo $n\geq k\geq 0$ .

Determine el entero más pequeño $n\geq 4$ para el cual uno puede elegir cuatro números diferentes $a,b,c$ y $d$ de cualquier $n$ enteros distintos tales que $a+b-c-d$ es divisible por $20$.

Determine todos los pares $(a,b)$ de números reales tales que $a \lfloor bn \rfloor =b \lfloor an \rfloor $ para todos los enteros positivos $n$. (Note que $\lfloor x\rfloor $ denota el mayor entero menor o igual que $x$.)

Encontrar todos los $a, b$ enteros positivos tales que: $\frac {a^{2}*b+a+b}{a*b^2+b+7}$ es un entero positivo. \n\nQuiero otra solución que sea diferente a la solución de la IMO.\nMi solución para este caso es $a=b$, es fácil tener la solución\nsi $a<b$ entonces $a*b*(a-b)+a-7 <0$ (contradicción)\npor lo tanto $a>b$ sea $a$ en $(m*b,(m+1)*b)$ ($m$ entero positivo)\nentonces es fácil probar que:\n$m< \frac {a^{2}*b+a+b}{a*b^2+b+7} <(m+1)$ (contradicción)\nasí que $a$ es divisible por $b$ entonces $a=k*b$ ($k$ entero positivo)\nentonces $\frac{k^2*b^3+k*b+b}{k*b^3+b+7}$ = $\frac{b*{k^2*b^2+k+1}}{k*b^3+b+7}$\nsi $(a,7)=1$ entonces $(b,k*b^3+b+7)=1$\nasí que $\frac {k^2*b^2+k+1}{k*b^3+b+7}$ es un entero positivo y es fácil probar que $k>b$\nes fácil probar que\n\[k\equiv 0 (mod b)\]\nasí que $k=q*b$ ($b >= 3$ y $q$ es un entero positivo)\nentonces $\frac {k^2*b^2+k+1}{k*b^3+b+7}$ = ${\{q^2*b^4+q*b+1}{q*b^4+b+1}$ = $q$ + $\frac {1-q}{q*b^4+b+1}$ (contradicción)\nsi $b$ es divisible por $7$ entonces $b=7*u$ ($u$ entero positivo)\ny es fácil probar que $u=k$ (es similar para este caso dos)\nasí que tenemos la solución $a=7*k^2$ , $b=7*k$\nMi solución es correcta o no :D :D :D

Determinar todos los pares $(x,y)$ de enteros positivos tales que $x^{2}y+x+y$ es divisible por $xy^{2}+y+7$ .