Los puntos $A,B,C,D,E$ se encuentran en una línea en este orden, tal que $BC=CD=\sqrt{AB\cdot DE},$ $P$ no se encuentra en la línea, y satisface que $PB=PD.$ Los puntos $K,L$ se encuentran en el segmento $PB,PD,$ respectivamente, tal que $KC$ biseca $\angle BKE,$ y $LC$ biseca $\angle ALD.$ Demuestra que $A,K,L,E$ son concíclicos.

Encuentra todos los enteros positivos $n$ tales que: $(1)$ $n$ tiene al menos $4$ divisores positivos. $(2)$ si todos los divisores positivos de $n$ son $d_1,d_2,\cdots ,d_k,$ entonces $d_2-d_1,d_3-d_2,\cdots ,d_k-d_{k-1}$ forman una secuencia geométrica.

Suponga que $a_1,a_2,\cdots,a_{100}\in\mathbb{R}^+$ tal que $a_i\geq a_{101-i}\,(i=1,2,\cdots,50).$ Sea $x_k=\frac{ka_{k+1}}{a_1+a_2+\cdots+a_k}\,(k=1,2,\cdots,99).$ Demuestra que $$x_1x_2^2\cdots x_{99}^{99}\leq 1.$$

En un sistema de coordenadas rectangulares plano, una secuencia de puntos ${A_n}$ en la mitad positiva del eje y y una secuencia de puntos ${B_n}$ en la curva $y=\sqrt{2x}$ $(x\ge0)$ satisfacen la condición $|OA_n|=|OB_n|=\frac{1}{n}$. La intersección con el eje x de la línea $A_nB_n$ es $a_n$, y la coordenada x del punto $B_n$ es $b_n$, $n\in\mathbb{N}$. Demuestre que (1) $a_n>a_{n+1}>4$, $n\in\mathbb{N}$ ; (2) Existe $n_0\in\mathbb{N}$, tal que para cualquier $n>n_0$, $\frac{b_2}{b_1}+\frac{b_3}{b_2}+\ldots +\frac{b_n}{b_{n-1}}+\frac{b_{n+1}}{b_n}<n-2004$.

Sean $m,n$ números enteros positivos. Demostrar que existen infinitas parejas de números enteros positivos $(a,b)$ tales que $a+b| am^a+bn^b , \quad\gcd(a,b)=1.$

Sean $a_i,b_i,i=1,\cdots,n$ números no negativos, y $n\ge 4$ , tales que $a_1+a_2+\cdots+a_n=b_1+b_2+\cdots+b_n>0$ . Hallar el máximo de $\frac{\sum_{i=1}^n a_i(a_i+b_i)}{\sum_{i=1}^n b_i(a_i+b_i)}$

Sea $n$ un entero positivo dado, el conjunto $S=\{1,2,\cdots,n\}$ . Para cualquier conjunto no vacío $A$ y $B$ , hallar el mínimo de $|A\Delta S|+|B\Delta S|+|C\Delta S|,$ donde $C=\{a+b|a\in A,b\in B\}, X\Delta Y=X\cup Y-X\cap Y.$

Sea $AB$ una cuerda de un círculo con centro $O$, $M$ es el punto medio de $AB$. Una cuerda no diametral se dibuja a través de $M$ e interseca el círculo en $C$ y $D$. Las tangentes del círculo desde los puntos $C$ y $D$ intersecan la línea $AB$ en $P$ y $Q$, respectivamente. Demuestre que $PA$ = $QB$.

Los números reales $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$ donde $n\ge 3$ son tales que $\sum_{i=1}^{n}a_{i}=0$ y $2a_{k}\le a_{k-1}+a_{k+1}$ para todo $k=2,3,\ldots ,n-1$. Encuentra el mínimo $f(n)$ tal que, para todo $k\in\left\{1,2,\ldots ,n\right\}$, tenemos $|a_{k}|\le f(n)\max\left\{|a_{1}|,|a_{n}|\right\}$.

Un total de $n$ personas compiten en un partido matemático que contiene $15$ problemas donde $n>12$. Para cada problema, se da $1$ punto por una respuesta correcta y $0$ se da por una respuesta incorrecta. Analizando cada situación posible, encontramos que si la suma de puntos que cada grupo de $12$ personas obtiene es no menos de $36$, entonces hay al menos $3$ personas que obtuvieron la respuesta correcta de un cierto problema, entre las $n$ personas. Encuentra el $n$ mínimo posible.