. ¿Cuántos números naturales menores que $1000$ no son divisibles por $5$ ni por $7$ ? P2. Describa el conjunto de todos los puntos que satisfacen la desigualdad $x^{2}+y^{2}<4x+4y$ . P3. Un círculo puede inscribirse en un trapecio. Demuestre que los círculos construidos sobre sus lados no paralelos como diámetros son tangentes entre sí. P4. Sean $a, b, c$ números positivos tales que $a \geqslant b \geqslant c>0$ y $a+b+c\leqslant1$ . Demuestre que $a^{2}+3b^{2}+5c^{2}\leqslant1$ .

3 Sea $n$ un entero positivo, y $a_j$ , para $j=1,2,\ldots,n$ , números complejos. Suponga que $I$ es un subconjunto no vacío arbitrario de $\{1,2,\ldots,n\}$ , y que la desigualdad $\left|-1+ \prod_{j\in I} (1+a_j) \right| \leq \frac 12$ se cumple siempre. Demuestre que $\sum_{j=1}^n |a_j| \leq 3$ .

1 Sean $a_{1}$ , $a_{2}$ , …, $a_{6}$ ; $b_{1}$ , $b_{2}$ , …, $b_{6}$ y $c_{1}$ , $c_{2}$ , …, $c_{6}$ permutaciones de $1$ , $2$ , …, $6$ , respectivamente. Halle el valor mínimo de $\sum_{i=1}^{6}a_{i}b_{i}c_{i}$ .

2 Sea $n$ un entero positivo, y $x$ un número real positivo. Demuestre que $$\sum_{k=1}^{n} \left( x \left[\frac{k}{x}\right] - (x+1)\left[\frac{k}{x+1}\right]\right) \leq n,$$ donde $[x]$ denota el mayor entero que no excede a $x$ .

3 Sea $\alpha$ un número real positivo dado, halle todas las funciones $f: N^{+} \rightarrow R$ tales que $f(k + m) = f(k) + f(m)$ se cumple para cualesquiera enteros positivos $k$ , $m$ que satisfacen $\alpha m \leq k \leq (\alpha + 1)m$ .

1 El punto $P$ está dentro del triángulo $ABC$ . Sean las proyecciones de $P$ sobre los lados $BC$ , $CA$ , $AB$ , respectivamente, $D$ , $E$ , $F$ . Sean las proyecciones desde $A$ sobre las rectas $BP$ y $CP$ , respectivamente, $M$ y $N$ . Demuestre que $ME$ , $NF$ y $BC$ son concurrentes.

2 Sean $a$ , $b$ , $c$ números reales no negativos tales que $ab+bc+ca = \frac{1}{3}$ . Demuestre que \[\frac{1}{a^{2}-bc+1}+\frac{1}{b^{2}-ca+1}+\frac{1}{c^{2}-ab+1}\leq 3 \]

3 Sean $a_1,a_2 \dots a_n$ y $x_1, x_2 \dots x_n$ enteros y $r\geq 2$ un entero. Se sabe que \[\sum_{j=0}^{n} a_j x_j^k =0 \qquad \text{for} \quad k=1,2, \dots r.\] Demuestre que \[\sum_{j=0}^{n} a_j x_j^m \equiv 0 \pmod m, \qquad \text{for all}\quad m \in \{ r+1, r+2, \cdots, 2r+1 \}.\]

1 Sea $k$ un entero positivo. Demuestre que se puede particionar el conjunto $\{ 0,1,2,3, \cdots ,2^{k+1}-1 \}$ en dos subconjuntos distintos $\{ x_1,x_2, \cdots, x_{2k} \}$ y $\{ y_1, y_2, \cdots, y_{2k} \}$ tales que $\sum_{i=1}^{2^k} x_i^m =\sum_{i=1}^{2^k} y_i^m$ para todo $m \in \{ 1,2, \cdots, k \}$ .

2 El cuadrilátero cíclico $ABCD$ tiene longitudes de lados $AB$ , $BC$ , $CA$ , $AD$ enteras positivas. Se sabe que $AD=2005$ , $\angle{ABC}=\angle{ADC} = 90^o$ , y $\max \{ AB,BC,CD \} < 2005$ . Determine los valores máximo y mínimo posibles para el perímetro de $ABCD$ .