C3 Para un conjunto finito $A$ de enteros positivos, una partición de $A$ en dos subconjuntos no vacíos disjuntos $A_1$ y $A_2$ es $\textit{good}$ si el mínimo común múltiplo de los elementos de $A_1$ es igual al máximo común divisor de los elementos de $A_2$ . Determine el valor mínimo de $n$ tal que existe un conjunto de $n$ enteros positivos con exactamente $2015$ particiones buenas.

C6 Sea $S$ un conjunto no vacío de enteros positivos. Decimos que un entero positivo $n$ es limpio si tiene una representación única como suma de un número impar de elementos distintos de $S$ . Demuestre que existen infinitos enteros positivos que no son limpios.

C5 La sucesión $a_1,a_2,\dots$ de enteros satisface las condiciones: (i) $1\le a_j\le2015$ para todo $j\ge1$ , (ii) $k+a_k\neq \ell+a_\ell$ para todos $1\le k<\ell$ . Demuestre que existen dos enteros positivos $b$ y $N$ para los cuales \[\left\vert\sum_{j=m+1}^n(a_j-b)\right\vert\le1007^2\] para todos los enteros $m$ y $n$ tales que $n>m\ge N$ . Propuesto por Ivan Guo y Ross Atkins, Australia

G1 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con ortocentro $H$ . Sea $G$ el punto tal que el cuadrilátero $ABGH$ es un paralelogramo. Sea $I$ el punto de la recta $GH$ tal que $AC$ biseca a $HI$ . Suponga que la recta $AC$ interseca a la circunferencia circunscrita del triángulo $GCI$ en $C$ y $J$ . Demuestre que $IJ = AH$ .

G4 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y sea $M$ el punto medio de $AC$ . Un círculo $\omega$ que pasa por $B$ y $M$ corta a los lados $AB$ y $BC$ en los puntos $P$ y $Q$ respectivamente. Sea $T$ el punto tal que $BPTQ$ es un paralelogramo. Suponga que $T$ está sobre la circunferencia circunscrita de $ABC$ . Determine todos los valores posibles de $\frac{BT}{BM}$ .

G7 Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo, y sean $P$ , $Q$ , $R$ y $S$ puntos sobre los lados $AB$ , $BC$ , $CD$ y $DA$ , respectivamente. Sean los segmentos $PR$ y $QS$ que se cortan en $O$ . Suponga que cada uno de los cuadriláteros $APOS$ , $BQOP$ , $CROQ$ y $DSOR$ tiene una circunferencia inscrita. Demuestre que las rectas $AC$ , $PQ$ y $RS$ son concurrentes o paralelas entre sí.

G5 Sea $ABC$ un triángulo con $CA \neq CB$ . Sean $D$ , $F$ y $G$ los puntos medios de los lados $AB$ , $AC$ y $BC$ respectivamente. Un círculo $\Gamma$ que pasa por $C$ y es tangente a $AB$ en $D$ corta a los segmentos $AF$ y $BG$ en $H$ e $I$ , respectivamente. Los puntos $H'$ e $I'$ son simétricos de $H$ e $I$ respecto de $F$ y $G$ , respectivamente. La recta $H'I'$ corta a $CD$ y $FG$ en $Q$ y $M$ , respectivamente. La recta $CM$ corta de nuevo a $\Gamma$ en $P$ . Demuestre que $CQ = QP$ . Propuesto por El Salvador

G6 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB > AC$ . Sea $\Gamma $ su circunferencia circunscrita, $H$ su ortocentro y $F$ el pie de la altura trazada desde $A$ . Sea $M$ el punto medio de $BC$ . Sea $Q$ el punto de $\Gamma$ tal que $\angle HQA = 90^{\circ}$ y sea $K$ el punto de $\Gamma$ tal que $\angle HKQ = 90^{\circ}$ . Suponga que los puntos $A$ , $B$ , $C$ , $K$ y $Q$ son todos diferentes y están sobre $\Gamma$ en ese orden. Demuestre que las circunferencias circunscritas de los triángulos $KQH$ y $FKM$ son tangentes entre sí. Propuesto por Ucrania

G8 Una triangulación de un polígono convexo $\Pi$ es una partición de $\Pi$ en triángulos mediante diagonales que no tienen puntos comunes aparte de los vértices del polígono. Decimos que una triangulación es una Thaiangulación si todos sus triángulos tienen la misma área. Demuestre que cualesquiera dos Thaiangulaciones diferentes de un polígono convexo $\Pi$ difieren en exactamente dos triángulos. (En otras palabras, demuestre que es posible reemplazar un par de triángulos en la primera Thaiangulación por un par diferente de triángulos para obtener la segunda Thaiangulación.) Propuesto por Bulgaria

54 Sea $P$ un polígono plano convexo con ángulos iguales. Sean $l_1,\cdots, l_n$ sus lados. Demuestre que una condición necesaria y suficiente para que $P$ sea regular es que la suma de las razones $\frac{l_i}{l_{i+1}} (i = 1,\cdots, n; l_{n+1}= l_1)$ sea igual al número de lados.